5.1 Quelques problèmes types
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Problème 5.2 (Spectrométrie) Considérons un mélange de gaz constitué de n composants non-réactifs inconnus. En utilisant un spectromètre de masse, on bombarde le mélange par des électrons de faible
énergie et on analyse le mélange d’ions résultant avec un galvanomètre
qui présente des pics correspondant à des ratios masse/charge spécifiques. On ne considère que les n pics les plus significatifs. On peut
conjecturer que la hauteur h i du i-ème pic est une combinaison linéaire
de {p j , j = 1, . . . , n}, où p j est la pression partielle du j-ème composant (c’est-à-dire la pression exercée par un seul gaz du mélange), ce qui
donne
n
j=1
s ij p j = h i ,
i= 1, . . ., n,
(5.3)
où les s ij sont les coefficients dits de sensibilité. La détermination des
pressions partielles nécessite donc la résolution d’un système linéaire.
Pour la résolution, voir l’Exemple 5.3.
Problème 5.3 (Economie : analyse d’entrées-sorties) On veut déterminer l’équilibre entre la demande et l’offre de certains biens. Dans le
modèle de production considéré, m ≥ n usines (ou lignes de production)
produisent n produits différents. Elles doivent répondre à une demande
interne (l’entrée) nécessaire au fonctionnement des usines, ainsi qu’à une
demande externe (la sortie) provenant des consommateurs. Leontief a
proposé en (1930)
1 un modèle de production linéaire, c’est-à-dire dans
lequel la sortie est proportionnelle à l’entrée. Sous cette hypothèse, l’activité des usines est entièrement décrite par deux matrices : la matrice
d’entrée C = (c ij ) ∈ R
n×m et la matrice de sortie P = (p ij ) ∈ R
n×m .
(“C” pour consommable et “P” pour produit.) Le coefficient c ij (resp.
p ij ) représente la quantité du i-ème bien absorbé (resp. produit) par la
j-ème usine sur une période fixée. La matrice A = P − C est appelée
matrice d’entrée-sortie : un a ij positif (resp. négatif) désigne la quantité
du i-ème bien produit (resp. absorbé) par la j-ème usine. Enfin, on peut
raisonnablement supposer que le système de production satisfait à la demande du marché, qu’on peut représenter par un vecteur b = (b i ) ∈ R
n
(le vecteur de la demande finale). La composante b i représente la quantité du i-ème bien absorbé par le marché. L’équilibre est atteint quand
le vecteur x = (x i ) ∈ R
m représentant la production totale est égal à la
demande totale, c’est-à-dire,
Ax = b,
où A = P − C.
(5.4)
Pour simplifier, nous supposerons que la i-ème usine produit seulement
le i-ème bien (voir Figure 5.2). Par conséquent, n = m et P = I. Pour la
résolution de ce système linéaire voir l’Exercice 5.18.
1. Wassily Leontieff a reçu en 1973 le prix Nobel d’économie pour ses travaux.
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Problème 5.2 (Spectrométrie) Considérons un mélange de gaz constitué de n composants non-réactifs inconnus. En utilisant un spectromètre de masse, on bombarde le mélange par des électrons de faible
énergie et on analyse le mélange d’ions résultant avec un galvanomètre
qui présente des pics correspondant à des ratios masse/charge spécifiques. On ne considère que les n pics les plus significatifs. On peut
conjecturer que la hauteur h i du i-ème pic est une combinaison linéaire
de {p j , j = 1, . . . , n}, où p j est la pression partielle du j-ème composant (c’est-à-dire la pression exercée par un seul gaz du mélange), ce qui
donne
n
j=1
s ij p j = h i ,
i= 1, . . ., n,
(5.3)
où les s ij sont les coefficients dits de sensibilité. La détermination des
pressions partielles nécessite donc la résolution d’un système linéaire.
Pour la résolution, voir l’Exemple 5.3.
Problème 5.3 (Economie : analyse d’entrées-sorties) On veut déterminer l’équilibre entre la demande et l’offre de certains biens. Dans le
modèle de production considéré, m ≥ n usines (ou lignes de production)
produisent n produits différents. Elles doivent répondre à une demande
interne (l’entrée) nécessaire au fonctionnement des usines, ainsi qu’à une
demande externe (la sortie) provenant des consommateurs. Leontief a
proposé en (1930)
1 un modèle de production linéaire, c’est-à-dire dans
lequel la sortie est proportionnelle à l’entrée. Sous cette hypothèse, l’activité des usines est entièrement décrite par deux matrices : la matrice
d’entrée C = (c ij ) ∈ R
n×m et la matrice de sortie P = (p ij ) ∈ R
n×m .
(“C” pour consommable et “P” pour produit.) Le coefficient c ij (resp.
p ij ) représente la quantité du i-ème bien absorbé (resp. produit) par la
j-ème usine sur une période fixée. La matrice A = P − C est appelée
matrice d’entrée-sortie : un a ij positif (resp. négatif) désigne la quantité
du i-ème bien produit (resp. absorbé) par la j-ème usine. Enfin, on peut
raisonnablement supposer que le système de production satisfait à la demande du marché, qu’on peut représenter par un vecteur b = (b i ) ∈ R
n
(le vecteur de la demande finale). La composante b i représente la quantité du i-ème bien absorbé par le marché. L’équilibre est atteint quand
le vecteur x = (x i ) ∈ R
m représentant la production totale est égal à la
demande totale, c’est-à-dire,
Ax = b,
où A = P − C.
(5.4)
Pour simplifier, nous supposerons que la i-ème usine produit seulement
le i-ème bien (voir Figure 5.2). Par conséquent, n = m et P = I. Pour la
résolution de ce système linéaire voir l’Exercice 5.18.
1. Wassily Leontieff a reçu en 1973 le prix Nobel d’économie pour ses travaux.