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5 Systèmes linéaires
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
p = 0
p = 0
p = 0
p = 0
1
2
3
4
Figure 5.1. Le réseau de conduites du Problème 5.1
entre le débit Q j (en m
3 /s) et le saut de pression Δp j entre l’entrée et
la sortie
Q j =
1
RL
Δp j ,
(5.2)
où R est la résistance hydraulique par unité de longueur (en (bar s)/m
4 )
et L est la longueur (en m) de la conduite. On suppose que l’eau s’écoule
par les sorties (indiquées par un point noir) où règne la pression atmosphérique, fixée à 0 bar (conformément à notre convention).
Le problème consiste à déterminer les valeurs de la pression en chaque
noeud intérieur 1, 2, 3, 4. Pour cela, on complète les relations (5.2) pour
j = 1, 2, 3, 4 en écrivant que la somme des débits algébriques en un noeud
j doit être nulle (une valeur négative indiquerait la présence d’une fuite).
En notant p = (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 )
T le vecteur des pressions aux noeuds
intérieurs, on obtient un système 4 × 4 de la forme Ap = b.
On indique dans le tableau suivant les caractéristiques des différentes
conduites
Conduite
R L Conduite
R L Conduite
R L
1
0.2500 20
2
2.0000 10
3
1.0204 14
4
2.0000 10
5
2.0000 10
6
7.8125 8
7
7.8125 8
8
7.8125 8
9
2.0000 10
10
7.8125 8
La matrice A et le vecteur b sont donnés par (en ne conservant que les
4 premiers chiffres significatifs)
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
−0.370 0.050 0.050 0.070
0.050 −0.116
0 0.050
0.050
0 −0.116 0.050
0.070 0.050 0.050 −0.202
⎤
⎥
⎥
⎦ , b =
⎡
⎢
⎢
⎣
−2
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎦ .
La résolution de ce système sera vue dans l’Exemple 5.5.
5 Systèmes linéaires
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
p = 0
p = 0
p = 0
p = 0
1
2
3
4
Figure 5.1. Le réseau de conduites du Problème 5.1
entre le débit Q j (en m
3 /s) et le saut de pression Δp j entre l’entrée et
la sortie
Q j =
1
RL
Δp j ,
(5.2)
où R est la résistance hydraulique par unité de longueur (en (bar s)/m
4 )
et L est la longueur (en m) de la conduite. On suppose que l’eau s’écoule
par les sorties (indiquées par un point noir) où règne la pression atmosphérique, fixée à 0 bar (conformément à notre convention).
Le problème consiste à déterminer les valeurs de la pression en chaque
noeud intérieur 1, 2, 3, 4. Pour cela, on complète les relations (5.2) pour
j = 1, 2, 3, 4 en écrivant que la somme des débits algébriques en un noeud
j doit être nulle (une valeur négative indiquerait la présence d’une fuite).
En notant p = (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 )
T le vecteur des pressions aux noeuds
intérieurs, on obtient un système 4 × 4 de la forme Ap = b.
On indique dans le tableau suivant les caractéristiques des différentes
conduites
Conduite
R L Conduite
R L Conduite
R L
1
0.2500 20
2
2.0000 10
3
1.0204 14
4
2.0000 10
5
2.0000 10
6
7.8125 8
7
7.8125 8
8
7.8125 8
9
2.0000 10
10
7.8125 8
La matrice A et le vecteur b sont donnés par (en ne conservant que les
4 premiers chiffres significatifs)
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
−0.370 0.050 0.050 0.070
0.050 −0.116
0 0.050
0.050
0 −0.116 0.050
0.070 0.050 0.050 −0.202
⎤
⎥
⎥
⎦ , b =
⎡
⎢
⎢
⎣
−2
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎦ .
La résolution de ce système sera vue dans l’Exemple 5.5.