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4 Intégration et différentiation numérique
Exercice 4.14 Pour calculer les intégrales Ik =
1
0
x
k e
x−1 dx, k = 1, 2, . . .,
on peut utiliser la relation de récurrence : Ik = 1 − kIk−1, avec I1 = 1/e.
Calculer I20 avec la formule composite de Simpson en assurant une erreur de
quadrature inférieure ou égale à 10
−3 . Comparer l’approximation de Simpson
et celle obtenue avec la formule de récurrence ci-dessus.
Exercice 4.15 Ecrire la méthode d’extrapolation de Richardson pour les
formules de Simpson (4.23) et de Gauss-Legendre de la Table 4.1 pour
n = 1. Utiliser les deux méthodes obtenues pour approcher l’intégrale I(f ) =
2
0
e
−x
2 /2 dx, avec H1 = 1 et H2 = 0.5. Vérifier dans les deux cas que IR est
plus précise que I1 et I2.
Exercice 4.16 (Electromagnétisme) Calculer à l’aide de la formule composite de Simpson la fonction j(r, 0) définie en (4.2) avec r = k/10 m pour
k = 1, . . . , 10, ρ(ξ) = e
ξ et σ = 0.36 W/(mK). Garantir une erreur de quadrature inférieure à 10
−10 . (On rappelle que : m=mètres, W=Watts, K=degrés
Kelvin.)
Exercice 4.17 (Optique) En utilisant les formules composites de Simpson
et de Gauss-Legendre (avec n = 1) calculer la fonction E(T ) définie en (4.1)
pour T = 213 K avec au moins dix chiffres significatifs exacts.
Exercice 4.18 Mettre en oeuvre une stratégie pour calculer
I(f ) =
0
1
|x
2 − 0.25| dx
à l’aide de la formule composite de Simpson en faisant en sorte que l’erreur de
quadrature soit inférieure à 10
−2 .