4.7 Exercices
129
Exercice 4.5 Déterminer le nombre minimum M de sous-intervalles nécessaires à approcher avec une erreur absolue inférieure à 10
−4 les intégrales des
fonctions suivantes
f1(x) =
1
1 + (x − π) 2 in [0, 5],
f2(x) = e
x cos(x)
in [0, π],
f3(x) =
x(1 − x) in [0, 1],
en utilisant la formule composite du point milieu. Vérifier les résultats obtenus
en utilisant le Programme 4.1.
Exercice 4.6 Prouver (4.14) en partant de (4.16).
Exercice 4.7 Pourquoi la formule du point milieu perd-elle un ordre de
convergence qu’on on l’utilise sous sa forme composite ?
Exercice 4.8 Vérifier que, si f est un polynôme de degré inférieur ou égal à
1, alors Ipm(f ) = I(f ) (autrement dit la formule du point milieu a un degré
d’exactitude au moins égal à 1).
Exercice 4.9 Pour la fonction f1 de l’Exercice 4.5, calculer (numériquement)
les valeurs de M qui assurent que l’erreur de quadrature est inférieure à 10
−4
quand l’intégrale est approchée par les formules composites du trapèze et de
Gauss-Legendre (avec n = 1).
Exercice 4.10 Soient I1 et I2 deux valeurs obtenues par la formule composite
du trapèze appliquée avec deux pas d’intégration différents H1 et H2, pour
approcher I(f ) =
b
a
f (x)dx. Vérifier que si f
(2) varie peu sur ]a, b[, la valeur
IR = I1 + (I1 − I2)/(H
2
2 /H
2
1 − 1)
(4.32)
est une meilleure approximation de I(f ) que I1 et I2. Cette stratégie est appelée méthode d’extrapolation de Richardson. Déduire (4.32) à partir de (4.18).
Exercice 4.11 Vérifier que, parmi toutes les formules de la forme Iappr(f ) =
αf (¯ x) + βf (¯ z) où ¯
x, ¯
z ∈ [a, b] sont deux noeuds inconnus et α et β deux poids
à déterminer, la formule de Gauss de la Table 4.1 avec n = 1 est celle qui a le
plus grand degré d’exactitude.
Exercice 4.12 Pour les deux premières fonctions de l’Exercice 4.5, calculer
le nombre minimum d’intervalles tel que l’erreur de quadrature de la formule
composite de Simpson est inférieure à 10
−4 .
Exercice 4.13 Calculer
2
0
e
−x 2 /2 dx en utilisant la formule de Simpson
(4.23) et celle de Gauss-Legendre (Table 4.1 pour n = 1). Comparer les résultats obtenus.
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Exercice 4.5 Déterminer le nombre minimum M de sous-intervalles nécessaires à approcher avec une erreur absolue inférieure à 10
−4 les intégrales des
fonctions suivantes
f1(x) =
1
1 + (x − π) 2 in [0, 5],
f2(x) = e
x cos(x)
in [0, π],
f3(x) =
x(1 − x) in [0, 1],
en utilisant la formule composite du point milieu. Vérifier les résultats obtenus
en utilisant le Programme 4.1.
Exercice 4.6 Prouver (4.14) en partant de (4.16).
Exercice 4.7 Pourquoi la formule du point milieu perd-elle un ordre de
convergence qu’on on l’utilise sous sa forme composite ?
Exercice 4.8 Vérifier que, si f est un polynôme de degré inférieur ou égal à
1, alors Ipm(f ) = I(f ) (autrement dit la formule du point milieu a un degré
d’exactitude au moins égal à 1).
Exercice 4.9 Pour la fonction f1 de l’Exercice 4.5, calculer (numériquement)
les valeurs de M qui assurent que l’erreur de quadrature est inférieure à 10
−4
quand l’intégrale est approchée par les formules composites du trapèze et de
Gauss-Legendre (avec n = 1).
Exercice 4.10 Soient I1 et I2 deux valeurs obtenues par la formule composite
du trapèze appliquée avec deux pas d’intégration différents H1 et H2, pour
approcher I(f ) =
b
a
f (x)dx. Vérifier que si f
(2) varie peu sur ]a, b[, la valeur
IR = I1 + (I1 − I2)/(H
2
2 /H
2
1 − 1)
(4.32)
est une meilleure approximation de I(f ) que I1 et I2. Cette stratégie est appelée méthode d’extrapolation de Richardson. Déduire (4.32) à partir de (4.18).
Exercice 4.11 Vérifier que, parmi toutes les formules de la forme Iappr(f ) =
αf (¯ x) + βf (¯ z) où ¯
x, ¯
z ∈ [a, b] sont deux noeuds inconnus et α et β deux poids
à déterminer, la formule de Gauss de la Table 4.1 avec n = 1 est celle qui a le
plus grand degré d’exactitude.
Exercice 4.12 Pour les deux premières fonctions de l’Exercice 4.5, calculer
le nombre minimum d’intervalles tel que l’erreur de quadrature de la formule
composite de Simpson est inférieure à 10
−4 .
Exercice 4.13 Calculer
2
0
e
−x 2 /2 dx en utilisant la formule de Simpson
(4.23) et celle de Gauss-Legendre (Table 4.1 pour n = 1). Comparer les résultats obtenus.