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4 Intégration et différentiation numérique
dblquad(’f’,xmin,xmax,ymin,ymax) de MATLAB qui permet de caldblquad
culer l’intégrale sur un domaine rectangulaire [xmin,xmax] ×
[ymin,ymax] d’une fonction définie dans un fichier f.m. La fonction f
doit avoir au moins deux paramètres d’entrée correspondant aux variables x et y par rapport auxquelles l’intégrale est calculée.
Octave 4.1 La fonction dblquad n’existe dans Octave que depuis la
version 3.2.0, dans le package Integration téléchargeable sur
http://octave.sourceforge.net. Mais deux autres fonctions ont
un rôle similaire :
1. quad2dg pour une intégration bidimensionnelle utilisant une formule
quad2dg
de quadrature de Gauss ;
2. quad2dc pour une intégration bidimensionnelle utilisant une formule
quad2dc
de quadrature de Gauss-Chebyshev.
4.7 Exercices
Exercice 4.1 Vérifier que, si f ∈ C
3 dans un voisinage I0 de x0 (resp. In de
xn) l’erreur de la formule (4.11) est égale à −
1
3
f
(ξ0)h
2 (resp. −
1
3
f
(ξn)h
2 ),
où ξ0 et ξn sont deux points appartenant à I0 et In respectivement.
Exercice 4.2 Vérifier que si f ∈ C
3 dans un voisinage de ¯
x l’erreur de la
formule (4.9) est égale à (4.10).
Exercice 4.3 Calculer l’ordre de précision par rapport à h des formules suivantes pour approcher f
(xi)
a.
−11f (xi) + 18f (xi+1) − 9f (xi+2) + 2f (xi+3)
6h
,
b.
f (xi−2) − 6f (xi−1) + 3f (xi) + 2f (xi+1)
6h
,
c.
−f (xi−2) − 12f (xi) + 16f (xi+1) − 3f (xi+2)
12h
.
Exercice 4.4 (Démographie) Les valeurs suivantes représentent l’évolution
au cours du temps du nombre n(t) d’individus d’une population dont le taux de
naissance est constant (b = 2) et dont le taux de mortalité est d(t) = 0.01n(t)
t (mois)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n
100 147 178 192 197 199 200
Utiliser ces données pour approcher aussi précisément que possible le taux de
variation de cette population. Comparer le résultat avec le taux exact n
(t) =
2n(t) − 0.01n
2 (t).
4 Intégration et différentiation numérique
dblquad(’f’,xmin,xmax,ymin,ymax) de MATLAB qui permet de caldblquad
culer l’intégrale sur un domaine rectangulaire [xmin,xmax] ×
[ymin,ymax] d’une fonction définie dans un fichier f.m. La fonction f
doit avoir au moins deux paramètres d’entrée correspondant aux variables x et y par rapport auxquelles l’intégrale est calculée.
Octave 4.1 La fonction dblquad n’existe dans Octave que depuis la
version 3.2.0, dans le package Integration téléchargeable sur
http://octave.sourceforge.net. Mais deux autres fonctions ont
un rôle similaire :
1. quad2dg pour une intégration bidimensionnelle utilisant une formule
quad2dg
de quadrature de Gauss ;
2. quad2dc pour une intégration bidimensionnelle utilisant une formule
quad2dc
de quadrature de Gauss-Chebyshev.
4.7 Exercices
Exercice 4.1 Vérifier que, si f ∈ C
3 dans un voisinage I0 de x0 (resp. In de
xn) l’erreur de la formule (4.11) est égale à −
1
3
f
(ξ0)h
2 (resp. −
1
3
f
(ξn)h
2 ),
où ξ0 et ξn sont deux points appartenant à I0 et In respectivement.
Exercice 4.2 Vérifier que si f ∈ C
3 dans un voisinage de ¯
x l’erreur de la
formule (4.9) est égale à (4.10).
Exercice 4.3 Calculer l’ordre de précision par rapport à h des formules suivantes pour approcher f
(xi)
a.
−11f (xi) + 18f (xi+1) − 9f (xi+2) + 2f (xi+3)
6h
,
b.
f (xi−2) − 6f (xi−1) + 3f (xi) + 2f (xi+1)
6h
,
c.
−f (xi−2) − 12f (xi) + 16f (xi+1) − 3f (xi+2)
12h
.
Exercice 4.4 (Démographie) Les valeurs suivantes représentent l’évolution
au cours du temps du nombre n(t) d’individus d’une population dont le taux de
naissance est constant (b = 2) et dont le taux de mortalité est d(t) = 0.01n(t)
t (mois)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n
100 147 178 192 197 199 200
Utiliser ces données pour approcher aussi précisément que possible le taux de
variation de cette population. Comparer le résultat avec le taux exact n
(t) =
2n(t) − 0.01n
2 (t).