4.6 Ce qu’on ne vous a pas dit
127
nodes = unique ( nodes );
return
function [ deltaI , ISc ]= c a l d eltai(A ,fun , varargin )
L =A (2) -A (1);
t =[0; 0.25; 0.5; 0.75; 1];
x =L *t +A (1); L =L /6;
w =[1; 4; 1]; wp = [ 1 ; 4;2; 4;1] ;
fx= feval ( fun ,x , varargin {:}).* ones (5 ,1);
IS= L* sum( fx ([1 3 5]).* w );
ISc =0.5* L * sum ( fx .* wp );
deltaI = IS - ISc ;
return
Exemple 4.5 Calculons l’intégrale I(f ) =
1
−1
20(1 − x
2 )
3 dx en utilisant la
formule de Simpson adaptative. En exécutant le Programme 4.3 avec :
fun = inline ( ’(1 -x . ^ 2 ) .^3* 20’ );
tol = 1.e -04; hmin = 1.e -03; a = -1;b =1;
on trouve la valeur approchée 18.2857116732797, au lieu de la valeur exacte
18.2857142857143. L’erreur est inférieure à la tolérance fixée tol=10
−4 (elle
vaut précisément 2.6124 10
−6 ). Pour obtenir ce résultat, il a suffi de 41 évaluations de la fonction. Noter que la formule composite correspondante, avec un
pas d’intégration uniforme, nécessite 90 évaluations pour obtenir une erreur
de 2.5989 10
−6 .
4.6 Ce qu’on ne vous a pas dit
Les formules du point milieu, du trapèze et de Simpson sont des cas
particuliers d’une classe de méthodes de quadrature appelées formules
de Newton-Cotes. Pour une introduction, voir [QSS07, Chap. 9]. De
même, les formules de Gauss-Legendre et de Gauss-Legendre-Lobatto
introduites à la Section 4.4 sont des cas particuliers des méthodes de
quadrature gaussiennes. Elles sont optimales dans le sens qu’elles maximisent le degré d’exactitude pour un nombre donné de noeuds de quadrature. On trouvera une introduction aux quadratures gaussiennes dans
[QSS07, Chap. 10], ou [RR01]. D’autres développements sur l’intégration
numérique sont présentés par exemple dans [DR75] et [PdDKÜK83].
On peut également utiliser l’intégration numérique pour calculer
des intégrales sur des intervalles non bornés. Par exemple, pour approcher
∞
0 f(x) dx, une première possibilité est de trouver un α tel que
∞
α
f(x)dx puisse être négligée par rapport à
α
0
f(x)dx. On calcule alors
cette dernière intégrale par une formule de quadrature sur un intervalle
borné. Une deuxième possibilité est de recourir à des formules de quadrature gaussiennes pour des intervalles non bornés (voir [QSS07, Chapitre
10]).
Enfin, on peut aussi calculer des intégrales multidimensionnelles par
intégration numérique. Mentionnons en particulier l’instruction
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nodes = unique ( nodes );
return
function [ deltaI , ISc ]= c a l d eltai(A ,fun , varargin )
L =A (2) -A (1);
t =[0; 0.25; 0.5; 0.75; 1];
x =L *t +A (1); L =L /6;
w =[1; 4; 1]; wp = [ 1 ; 4;2; 4;1] ;
fx= feval ( fun ,x , varargin {:}).* ones (5 ,1);
IS= L* sum( fx ([1 3 5]).* w );
ISc =0.5* L * sum ( fx .* wp );
deltaI = IS - ISc ;
return
Exemple 4.5 Calculons l’intégrale I(f ) =
1
−1
20(1 − x
2 )
3 dx en utilisant la
formule de Simpson adaptative. En exécutant le Programme 4.3 avec :
fun = inline ( ’(1 -x . ^ 2 ) .^3* 20’ );
tol = 1.e -04; hmin = 1.e -03; a = -1;b =1;
on trouve la valeur approchée 18.2857116732797, au lieu de la valeur exacte
18.2857142857143. L’erreur est inférieure à la tolérance fixée tol=10
−4 (elle
vaut précisément 2.6124 10
−6 ). Pour obtenir ce résultat, il a suffi de 41 évaluations de la fonction. Noter que la formule composite correspondante, avec un
pas d’intégration uniforme, nécessite 90 évaluations pour obtenir une erreur
de 2.5989 10
−6 .
4.6 Ce qu’on ne vous a pas dit
Les formules du point milieu, du trapèze et de Simpson sont des cas
particuliers d’une classe de méthodes de quadrature appelées formules
de Newton-Cotes. Pour une introduction, voir [QSS07, Chap. 9]. De
même, les formules de Gauss-Legendre et de Gauss-Legendre-Lobatto
introduites à la Section 4.4 sont des cas particuliers des méthodes de
quadrature gaussiennes. Elles sont optimales dans le sens qu’elles maximisent le degré d’exactitude pour un nombre donné de noeuds de quadrature. On trouvera une introduction aux quadratures gaussiennes dans
[QSS07, Chap. 10], ou [RR01]. D’autres développements sur l’intégration
numérique sont présentés par exemple dans [DR75] et [PdDKÜK83].
On peut également utiliser l’intégration numérique pour calculer
des intégrales sur des intervalles non bornés. Par exemple, pour approcher
∞
0 f(x) dx, une première possibilité est de trouver un α tel que
∞
α
f(x)dx puisse être négligée par rapport à
α
0
f(x)dx. On calcule alors
cette dernière intégrale par une formule de quadrature sur un intervalle
borné. Une deuxième possibilité est de recourir à des formules de quadrature gaussiennes pour des intervalles non bornés (voir [QSS07, Chapitre
10]).
Enfin, on peut aussi calculer des intégrales multidimensionnelles par
intégration numérique. Mentionnons en particulier l’instruction