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4 Intégration et différentiation numérique
I appr (f) =
b
a
Π n f(x)dx,
où Π n f ∈ P n est le polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonction
f aux noeuds y i , i = 0, . . . , n, donné par (3.4). Ceci fournit l’expression
suivante pour les poids
α i =
b
a
ϕ i (x)dx,
i = 0, . . ., n,
où ϕ i ∈ P n est le i-ème polynôme caractéristique de Lagrange, i.e. tel
que ϕ i (y j ) = δ ij , pour i, j = 0, . . . , n (defini en (3.3)).
Exemple 4.4 Pour la formule du trapèze (4.19) on a n = 1, y0 = a, y1 = b
et
α0 =
b
a
ϕ0(x)dx =
b
a
x − b
a − b
dx =
b − a
2
,
α1 =
b
a
ϕ1(x)dx =
b
a
x − a
b − a
dx =
b − a
2
.
On peut se demander s’il existe un choix particulier de noeuds qui
permette d’atteindre un degré d’exactitude supérieur à n, plus précisément égal à r = n + m pour un certain m > 0. Pour simplifier la
présentation, on peut se restreindre à l’intervalle de référence [−1, 1]. En
effet, si on connaît un ensemble de noeuds de quadrature {¯ y j } et de poids
{ ¯
α j } sur [−1, 1], alors, par un simple changement de variable (3.11), on
obtient immédiatement les noeuds et les poids correspondant,
y j =
a + b
2
+
b − a
2
¯
y j ,
α j =
b − a
2
¯
α j
sur un intervalle d’intégration [a, b] quelconque.
La réponse à cette question est donnée par le résultat suivant (voir
[QSS07, Chap. 10])