4.4 Quadratures interpolatoires
121
Proposition 4.1 Pour un m > 0 donné, la formule de quadrature
n
j=0 ¯
α j f(¯ y j ) a un degré d’exactitude n + m si et seulement si elle
est de type interpolatoire et si le polynôme ω n+1 = Π
n
i=0 (x − ¯
y i )
associé aux noeuds {¯ y i } vérifie
1
−1
ω n+1 (x)p(x)dx = 0,
∀p ∈ P m−1 .
(4.26)
La plus grande valeur que m peut prendre est n + 1. Elle est atteinte
quand ω n+1 est proportionnel au polynôme de Legendre de degré n + 1,
L n+1 (x).
Les polynômes de Legendre peuvent être calculés par récurrence à
l’aide de la formule suivante
L 0 (x) = 1,
L 1 (x) = x,
L k+1 (x) =
2k + 1
k + 1
xL k (x) −
k
k + 1
L k−1 (x),
k = 1, 2, . . ..
Pour n = 0, 1, . . ., les polynômes de P n sont des combinaisons linéaires
des L 0 , L 1 , . . . , L n . De plus, L n+1 est orthogonal à tous les polynômes
de Legendre de degré inférieur ou égal à n, i.e.,
1
−1
L n+1 (x)L j (x)dx = 0
pour j = 0, . . . , n. Ceci explique pourquoi (4.26) est vrai pour m égal,
mais pas supérieur, à n + 1.
Le degré maximum d’exactitude est donc égal à 2n + 1 et est obtenu
pour les formules de Gauss-Legendre (I GL en abrégé), dont les noeuds
et les poids sont donnés par
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
¯
y j = zéros de L n+1 (x),
¯
α j =
2
(1 − ¯
y 2
j )[L
n+1 (¯ y j )] 2 ,
j = 0, . . ., n.
(4.27)
Les poids ¯
α j sont tous positifs et les noeuds sont intérieurs à l’intervalle [−1, 1]. On donne dans la Table 4.1 les noeuds et les poids
des formules de quadrature de Gauss(-Legendre) avec n = 1, 2, 3, 4. Si
f ∈ C
(2n+2) ([−1, 1]), l’erreur correspondante est
I(f) − I GL (f) =
2
2n+3 ((n + 1)!)
4
(2n + 3)((2n + 2)!) 3 f
(2n+2) (ξ),
où ξ appartient à ] − 1, 1[.
Il est souvent utile de prendre les extrémités de l’intervalle comme
noeuds de quadrature. Dans ce cas, le degré d’exactitude le plus élevé est
2n − 1 et est obtenu avec les noeuds de Gauss-Legendre-Lobatto (GLL
en abrégé) : pour n ≥ 1
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Proposition 4.1 Pour un m > 0 donné, la formule de quadrature
n
j=0 ¯
α j f(¯ y j ) a un degré d’exactitude n + m si et seulement si elle
est de type interpolatoire et si le polynôme ω n+1 = Π
n
i=0 (x − ¯
y i )
associé aux noeuds {¯ y i } vérifie
1
−1
ω n+1 (x)p(x)dx = 0,
∀p ∈ P m−1 .
(4.26)
La plus grande valeur que m peut prendre est n + 1. Elle est atteinte
quand ω n+1 est proportionnel au polynôme de Legendre de degré n + 1,
L n+1 (x).
Les polynômes de Legendre peuvent être calculés par récurrence à
l’aide de la formule suivante
L 0 (x) = 1,
L 1 (x) = x,
L k+1 (x) =
2k + 1
k + 1
xL k (x) −
k
k + 1
L k−1 (x),
k = 1, 2, . . ..
Pour n = 0, 1, . . ., les polynômes de P n sont des combinaisons linéaires
des L 0 , L 1 , . . . , L n . De plus, L n+1 est orthogonal à tous les polynômes
de Legendre de degré inférieur ou égal à n, i.e.,
1
−1
L n+1 (x)L j (x)dx = 0
pour j = 0, . . . , n. Ceci explique pourquoi (4.26) est vrai pour m égal,
mais pas supérieur, à n + 1.
Le degré maximum d’exactitude est donc égal à 2n + 1 et est obtenu
pour les formules de Gauss-Legendre (I GL en abrégé), dont les noeuds
et les poids sont donnés par
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
¯
y j = zéros de L n+1 (x),
¯
α j =
2
(1 − ¯
y 2
j )[L
n+1 (¯ y j )] 2 ,
j = 0, . . ., n.
(4.27)
Les poids ¯
α j sont tous positifs et les noeuds sont intérieurs à l’intervalle [−1, 1]. On donne dans la Table 4.1 les noeuds et les poids
des formules de quadrature de Gauss(-Legendre) avec n = 1, 2, 3, 4. Si
f ∈ C
(2n+2) ([−1, 1]), l’erreur correspondante est
I(f) − I GL (f) =
2
2n+3 ((n + 1)!)
4
(2n + 3)((2n + 2)!) 3 f
(2n+2) (ξ),
où ξ appartient à ] − 1, 1[.
Il est souvent utile de prendre les extrémités de l’intervalle comme
noeuds de quadrature. Dans ce cas, le degré d’exactitude le plus élevé est
2n − 1 et est obtenu avec les noeuds de Gauss-Legendre-Lobatto (GLL
en abrégé) : pour n ≥ 1