4.4 Quadratures interpolatoires
119
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
Figure 4.5. Représentation logarithmique des erreurs en fonction de H pour
les formules de quadrature composites de Simpson (trait plein avec des cercles),
du point milieu (trait plein) et du trapèze (trait discontinu)
int =
27.1810
On estime donc que le nombre d’individus dont la taille se situe dans cet
intervalle est de 27.1810, ce qui correspond à 15.39 % des individus.
Exemple 4.3 On souhaite comparer les approximations de l’intégrale I(f ) =
2π
0
xe
−x cos(2x)dx = −(10π − 3 + 3e
2π )/(25e
2π ) −0.122122604618968 obtenues avec les formules composites du point milieu, du trapèze et de Simpson.
Sur la Figure 4.5, on trace les erreurs en fonction de H en échelle logarithmique. On a vu à la Section 1.6 que, sur ce type de graphe, la pente est d’autant
plus grande que l’ordre de convergence de la méthode est élevé. Conformément
aux prédictions théoriques, les formules du point milieu et du trapèze sont du
second ordre, tandis que la formule de Simpson est du quatrième ordre.
4.4 Quadratures interpolatoires
Les formules de quadrature (4.15), (4.19) ou (4.23), sont dites simples (ou
non composites) car elles ne portent que sur un intervalle (i.e. M = 1).
On peut les voir comme des cas particuliers d’une formule plus générale
du type
I appr (f) =
n
j=0
α j f(y j )
(4.25)
Les nombres réels {α j } sont les poids de quadrature, et les points y j
sont les noeuds de quadrature. En général, on souhaite que (4.25) intègre
exactement au moins les fonctions constantes : cette propriété est vérifiée
si
n
j=0 α j = b − a. On obtient clairement un degré d’exactitude (au
moins) égal à n en prenant