116
4 Intégration et différentiation numérique
Programme 4.1. midpointc : formule de quadrature composite du point milieu
function Imp= m i d point c(a ,b ,M , fun , varargin )
% M I D P OINTC i n t ég ratio n n u m ér ique c o m p osite du point
% milieu .
% IMP = M I D POI NTC(A ,B ,M , FUN) calcule une a p p r o xima tion
% de l ’ i n t é grale de la fonction FUN par la méthode du
% point milieu ( avec M i n t e rval les é q u i ré part is).
% FUN prend en entrée un vecteur réel x et renvoie
% un vecteur réel .
% FUN peut aussi être un objet inline , une fonction
% anonyme ou définie par un m - file .
% IMP = MIDPOINT (A ,B ,M , FUN ,P1 , P2 ,...) appelle la
% fonction FUN en passant les p a r amè tres o p t i onn els
% P1 , P2 ,... de la maniere suivante : FUN (X ,P1 , P2 ,...).
H =(b - a )/M ;
x = linspace ( a+ H /2 ,b -H /2 ,M );
fmp = feval ( fun ,x , varargin {:}).* ones (1 , M );
Imp =H * sum ( fmp );
return
Voir les Exercices 4.5–4.8.
4.3.2 Formule du trapèze
On peut obtenir une autre formule en remplaçant f sur I k par le polynôme de degré 1 interpolant f aux noeuds x k−1 et x k (ou de manière
équivalente, en remplaçant f par Π
H
1 f sur l’intervalle [a, b], voir Section
3.4). Ceci conduit à
I
c
t (f) =
H
2
M
k=1
[f(x k−1 ) + f(x k )]
=
H
2
[f(a) + f(b)] + H
M −1
k=1
f(x k )
(4.17)
Cette formule est appelée formule composite du trapèze. Elle est précise
au second ordre en H. On peut évaluer l’erreur de quadrature par la
relation suivante
I(f) − I
c
t (f) = −
b − a
12
H
2 f
(ξ)
(4.18)
pour un ξ ∈]a, b[, dès lors que f ∈ C
2 ([a, b]). La formule (4.17) avec
M = 1, donne
I t (f) =
b − a
2
[f(a) + f(b)]
(4.19)