4.3 Intégration numérique
115
f
f
a
b
(a + b)/2
¯
x0
¯
xk
¯
xM
x
x
Figure 4.3. Formule composite du point milieu (à gauche) ; formule du point
milieu (à droite)
où ξ est un point de [a, b]. La relation (4.16) n’est qu’un cas particulier
de (4.14), mais elle peut aussi être établie directement. En effet, on a,
en posant ¯
x = (a + b)/2,
I(f) − I pm (f) =
b
a
[f(x) − f(¯ x)] dx
=
b
a
f
(¯ x)(x − ¯
x) dx +
1
2
b
a
f
(η(x))(x − ¯
x)
2 dx,
où η(x) est compris entre x et ¯
x. On en déduit alors (4.16) puisque
b
a
(x−
¯
x) dx = 0 et que, par le théorème de la moyenne pour les intégrales,
∃ξ ∈ [a, b] tel que
1
2
b
a
f
(η(x))(x − ¯
x)
2 dx =
1
2
f
(ξ)
b
a
(x − ¯
x)
2 dx =
(b − a)
3
24
f
(ξ).
Le degré d’exactitude d’une formule de quadrature est l’entier le plus
grand r ≥ 0 pour lequel la valeur approchée de l’intégrale (obtenue avec
la formule de quadrature) d’un polynôme quelconque de degré r est égale
à la valeur exacte. On déduit de (4.14) et (4.16) que la formule du point
milieu a un degré d’exactitude égal à 1 puisqu’elle intègre exactement
tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 1 (mais pas tous ceux de
degré 2).
La formule composite du point milieu est implémentée dans le Programme 4.1. Les paramètres d’entrée sont les extrémités de l’intervalle
d’intégration a et b, le nombre de subdivisions M et une chaîne f pour
définir la fonction f.