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4 Intégration et différentiation numérique
où f est une fonction continue sur [a, b]. Nous commençons par introduire
des formules simples qui sont des cas particuliers des formules de NewtonCotes. Puis, nous présentons les formules de Gauss qui, pour un nombre
d’évaluations fixé de f, sont celles qui ont le degré d’exactitude le plus
élevé.
4.3.1 Formule du point milieu
On peut construire une méthode simple pour approcher I(f) en subdivisant l’intervalle [a, b] en sous-intervalles I k = [x k−1 , x k ], k = 1, . . . , M,
avec x k = a + kH, k = 0, . . ., M et H = (b − a)/M . Remarquant que
I(f) =
M
k=1
Ik
f(x) dx,
(4.12)
on peut approcher sur chaque sous-intervalle I k l’intégrale de f par celle
d’un polynôme ˜
f approchant f sur I k . Le plus simple est de choisir le
polynôme constant qui interpole f au milieu de I k
¯
x k =
x k−1 + x k
2
.
On obtient ainsi la formule de quadrature composite du point milieu
I
c
pm (f) = H
M
k=1
f(¯ x k )
(4.13)
L’indice pm signifie “point milieu”, et l’exposant c signifie “composite”.
Cette formule est du second ordre par rapport à H. Plus précisément, si
f est deux fois continûment différentiable sur [a, b], on a
I(f) − I
c
pm (f) =
b − a
24
H
2 f
(ξ),
(4.14)
où ξ est un point de [a, b] (voir Exercice 4.6). La Formule (4.13) est
aussi appelée formule de quadrature composite du rectangle à cause de
son interprétation géométrique, qui est évidente su la Figure 4.3. La formule classique du point milieu (ou du rectangle) est obtenue est prenant
M = 1 dans (4.13), c’est-à-dire en utilisant la formule directement sur
l’intervalle ]a, b[
I pm (f) = (b − a)f[(a + b)/2]
(4.15)
L’erreur est alors donnée par
I(f) − I pm (f) =
(b − a)
3
24
f
(ξ),
(4.16)
4 Intégration et différentiation numérique
où f est une fonction continue sur [a, b]. Nous commençons par introduire
des formules simples qui sont des cas particuliers des formules de NewtonCotes. Puis, nous présentons les formules de Gauss qui, pour un nombre
d’évaluations fixé de f, sont celles qui ont le degré d’exactitude le plus
élevé.
4.3.1 Formule du point milieu
On peut construire une méthode simple pour approcher I(f) en subdivisant l’intervalle [a, b] en sous-intervalles I k = [x k−1 , x k ], k = 1, . . . , M,
avec x k = a + kH, k = 0, . . ., M et H = (b − a)/M . Remarquant que
I(f) =
M
k=1
Ik
f(x) dx,
(4.12)
on peut approcher sur chaque sous-intervalle I k l’intégrale de f par celle
d’un polynôme ˜
f approchant f sur I k . Le plus simple est de choisir le
polynôme constant qui interpole f au milieu de I k
¯
x k =
x k−1 + x k
2
.
On obtient ainsi la formule de quadrature composite du point milieu
I
c
pm (f) = H
M
k=1
f(¯ x k )
(4.13)
L’indice pm signifie “point milieu”, et l’exposant c signifie “composite”.
Cette formule est du second ordre par rapport à H. Plus précisément, si
f est deux fois continûment différentiable sur [a, b], on a
I(f) − I
c
pm (f) =
b − a
24
H
2 f
(ξ),
(4.14)
où ξ est un point de [a, b] (voir Exercice 4.6). La Formule (4.13) est
aussi appelée formule de quadrature composite du rectangle à cause de
son interprétation géométrique, qui est évidente su la Figure 4.3. La formule classique du point milieu (ou du rectangle) est obtenue est prenant
M = 1 dans (4.13), c’est-à-dire en utilisant la formule directement sur
l’intervalle ]a, b[
I pm (f) = (b − a)f[(a + b)/2]
(4.15)
L’erreur est alors donnée par
I(f) − I pm (f) =
(b − a)
3
24
f
(ξ),
(4.16)