4.3 Intégration numérique
113
f
(¯ x) − (δf)(¯ x) = −
h
2
12
[f
(ξ − ) + f
(ξ + )],
(4.10)
où ξ − (resp. ξ + ) est dans l’intervalle ]¯ x − h, ¯
x[ (resp. ]¯ x, ¯
x + h[) (voir
Exercice 4.2).
D’après (4.9), f
(¯ x) est approché par la pente de la droite passant
par les points (¯ x − h, f(¯ x − h)) et (¯ x + h, f(¯ x + h)).
Exemple 4.1 (Hydraulique) Résolvons le Problème 4.1 en utilisant les formules (4.4), (4.8) et (4.9) avec h = 5 pour approcher q
(t) en cinq points. On
obtient
t
0
5
10
15
20
q
(t)
−0.0212 −0.0194 −0.0176
−0.0159 −0.0141
δ+q
−0.0203 −0.0185 −0.0168
−0.0150
−−
δ−q
−−
−0.0203 −0.0185
−0.0168 −0.0150
δq
−−
−0.0194 −0.0176
−0.0159
−−
En comparant les valeurs de la dérivée exacte et celles obtenues avec les formules de différences finies (pour h = 5), on constate que (4.9) donne un
meilleur résultat que (4.8) et (4.4).
Si on dispose des valeurs de f en n+1 points équidistants x i = x 0 +ih,
i = 0, . . ., n, avec h > 0, on peut approcher f
(x i ) en prenant l’une des
formules (4.4), (4.8) ou (4.9) avec ¯
x = x i .
Remarquer que la formule centrée (4.9) ne peut être utilisée que
pour les points intérieurs x 1 , . . . , x n−1 . Aux extrémités x 0 et x n , on peut
prendre
1
2h
[−3f(x 0 ) + 4f(x 1 ) − f(x 2 )]
en x 0 ,
1
2h
[3f(x n ) − 4f(x n−1 ) + f(x n−2 )] en x n ,
(4.11)
qui sont aussi des formules du second ordre en h. Elles sont obtenues
en calculant au point x 0 (resp. x n ) la dérivée première du polynôme de
degré 2 qui interpole f aux noeuds x 0 , x 1 , x 2 (resp. x n−2 , x n−1 , x n ).
Voir Exercices 4.1–4.4.
4.3 Intégration numérique
Dans cette section, nous proposons des méthodes numériques pour le
calcul approché de
I(f) =
b
a
f(x) dx,
113
f
(¯ x) − (δf)(¯ x) = −
h
2
12
[f
(ξ − ) + f
(ξ + )],
(4.10)
où ξ − (resp. ξ + ) est dans l’intervalle ]¯ x − h, ¯
x[ (resp. ]¯ x, ¯
x + h[) (voir
Exercice 4.2).
D’après (4.9), f
(¯ x) est approché par la pente de la droite passant
par les points (¯ x − h, f(¯ x − h)) et (¯ x + h, f(¯ x + h)).
Exemple 4.1 (Hydraulique) Résolvons le Problème 4.1 en utilisant les formules (4.4), (4.8) et (4.9) avec h = 5 pour approcher q
(t) en cinq points. On
obtient
t
0
5
10
15
20
q
(t)
−0.0212 −0.0194 −0.0176
−0.0159 −0.0141
δ+q
−0.0203 −0.0185 −0.0168
−0.0150
−−
δ−q
−−
−0.0203 −0.0185
−0.0168 −0.0150
δq
−−
−0.0194 −0.0176
−0.0159
−−
En comparant les valeurs de la dérivée exacte et celles obtenues avec les formules de différences finies (pour h = 5), on constate que (4.9) donne un
meilleur résultat que (4.8) et (4.4).
Si on dispose des valeurs de f en n+1 points équidistants x i = x 0 +ih,
i = 0, . . ., n, avec h > 0, on peut approcher f
(x i ) en prenant l’une des
formules (4.4), (4.8) ou (4.9) avec ¯
x = x i .
Remarquer que la formule centrée (4.9) ne peut être utilisée que
pour les points intérieurs x 1 , . . . , x n−1 . Aux extrémités x 0 et x n , on peut
prendre
1
2h
[−3f(x 0 ) + 4f(x 1 ) − f(x 2 )]
en x 0 ,
1
2h
[3f(x n ) − 4f(x n−1 ) + f(x n−2 )] en x n ,
(4.11)
qui sont aussi des formules du second ordre en h. Elles sont obtenues
en calculant au point x 0 (resp. x n ) la dérivée première du polynôme de
degré 2 qui interpole f aux noeuds x 0 , x 1 , x 2 (resp. x n−2 , x n−1 , x n ).
Voir Exercices 4.1–4.4.
4.3 Intégration numérique
Dans cette section, nous proposons des méthodes numériques pour le
calcul approché de
I(f) =
b
a
f(x) dx,