4.3 Intégration numérique
117
x0 = a
x0 = a
xk
xM = b
x
x
f
f
x1 = b
Figure 4.4. Formule composite du trapèze (à gauche) ; formule du trapèze (à
droite)
qu’on appelle formule du trapèze à cause de son interprétation géométrique. L’erreur correspondante s’exprime de la manière suivante
I(f) − I t (f) = −
(b − a)
3
12
f
(ξ),
(4.20)
où ξ appartient à [a, b]. On en déduit que (4.19) a un degré d’exactitude
égal à 1, tout comme la formule du point milieu.
On a implémenté la formule composite du trapèze (4.17) dans les
programmes MATLAB trapz et cumtrapz. Si x est le vecteur des abs- trapz
cumtrapz
cisses x k , k = 0, . . ., M (avec x 0 = a et x M = b), et y le vecteur des
f(x k ), k = 0, . . ., M, alors z=cumtrapz(x,y) retourne le vecteur z dont
les composantes sont les z k
xk
a
f(x)dx, l’intégrale étant approchée par
la formule composite du trapèze. Ainsi z(M+1) est une approximation de
l’intégrale de f sur ]a, b[.
Voir les Exercices 4.9–4.11.
4.3.3 Formule de Simpson
On obtient la formule de Simpson en remplaçant l’intégrale de f sur
chaque I k par celle de son polynôme d’interpolation de degré 2 aux
noeuds x k−1 , ¯
x k = (x k−1 + x k )/2 et x k ,
Π 2 f(x) =
2(x − ¯
x k )(x − x k )
H 2
f(x k−1 )
+
4(x k−1 − x)(x − x k )
H 2
f(¯ x k ) +
2(x − ¯
x k )(x − x k−1 )
H 2
f(x k ).
La formule qui en découle s’appelle formule de quadrature composite
de Simpson, et s’écrit
I
c
s (f) =
H
6
M
k=1
[f(x k−1 ) + 4f(¯ x k ) + f(x k )]
(4.21)