4.2 Approximation des dérivées
111
1
1.5
2
2.5
1.8 1.9
0
100
200
300
400
500
600
700
800
s
n(s)
Figure 4.1. Distribution des tailles dans une population de M = 200 individus
Alors
N [h,h+Δh] =
h+Δh
h
n(s) ds
(4.3)
représente le nombre d’individus dont la taille est comprise entre h et
h + Δh (pour un Δh positif). Sur la Figure 4.1, on a pris M = 200
individus, ¯
h = 1.7 m, σ = 0.1 m. L’aire de la région grisée donne le
nombre d’individus dont la taille est dans l’intervalle. Pour la solution
de ce problème, voir l’Exemple 4.2.
4.2 Approximation des dérivées
Considérons une fonction f : [a, b] → R continûment dérivable dans [a, b].
On cherche une approximation de la dérivée première de f en un point
¯
x de ]a, b[.
Etant donné la définition (1.10), pour h assez petit et positif, on peut
supposer que la quantité
(δ + f)(¯ x) =
f(¯ x + h) − f(¯ x)
h
(4.4)
est une approximation de f
(¯ x). On l’appelle taux d’accroissement ou
différence finie à droite. On dit aussi parfois différence finie progressive
(de l’anglais forward finite difference). Pour estimer l’erreur, il suffit
d’écrire le développement de Taylor de f ; si f ∈ C
2 (]a, b[), on a
f(¯ x + h) = f(¯ x) + hf
(¯ x) +
h
2
2
f
(ξ),
(4.5)
où ξ est un point de l’intervalle ]¯ x, ¯
x + h[.