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4 Intégration et différentiation numérique
On veut calculer une approximation de la vitesse de vidange q
(t) et la
comparer à celle prédite par la loi de Torricelli q
(t) = −γ(r/R)
2
2gq(t),
où g est la norme de l’accélération de la gravité et γ = 0.6 est
un coefficient de correction. Pour la résolution de ce problème, voir
l’Exemple 4.1.
Problème 4.2 (Optique) Afin d’aménager une pièce soumise à des
rayons infrarouges, on souhaite calculer l’énergie émise par un corps noir
(c’est-à-dire un objet capable, à température ambiante, d’irradier dans
tout le spectre) dans les longueurs d’onde comprises entre 3μm et 14μm
(infrarouges). La résolution de ce problème s’effectue en calculant l’intégrale
E(T ) = 2.39 · 10
−11
14·10
−4
3·10 −4
dx
x 5 (e 1.432/(T x) − 1)
,
(4.1)
qui est l’équation de Planck pour l’énergie E(T ), où x est la longueur
d’onde (en cm) et T la température (en Kelvin) du corps noir. Pour le
calcul de cette intégrale voir l’Exercice 4.17.
Problème 4.3 (Electromagnétisme) Considérons un conducteur
électrique sphérique de rayon r et de conductivité σ. On veut calculer la distribution de la densité de courant j en fonction de r et t (le
temps), connaissant la distribution initiale de la densité de charge ρ(r).
Le problème peut être résolu en utilisant les relations entre densité de
courant, champ électrique et densité de charge, et en remarquant qu’avec
la symétrie de la configuration, j(r, t) = j(r, t)r/|r|, où j = |j|. On obtient
j(r, t) = γ(r)e
−σt/ε0 , γ(r) =
σ
ε 0 r 2
r
0
ρ(ξ)ξ
2 dξ,
(4.2)
où ε 0 = 8.859 · 10
−12 farad/m est la constante diélectrique du vide. Pour
le calcul de cette intégrale, voir l’Exercice 4.16.
Problème 4.4 (Démographie) On considère une population ayant
un très grand nombre M d’individus. La distribution n(s) de la taille
de ces individus peut être représentée par une “courbe en cloche” caractérisée par sa moyenne ¯
h et son écart type σ
n(s) =
M
σ
√
2π
e
−(s− ¯
h)
2 /(2σ
2 ) .
4 Intégration et différentiation numérique
On veut calculer une approximation de la vitesse de vidange q
(t) et la
comparer à celle prédite par la loi de Torricelli q
(t) = −γ(r/R)
2
2gq(t),
où g est la norme de l’accélération de la gravité et γ = 0.6 est
un coefficient de correction. Pour la résolution de ce problème, voir
l’Exemple 4.1.
Problème 4.2 (Optique) Afin d’aménager une pièce soumise à des
rayons infrarouges, on souhaite calculer l’énergie émise par un corps noir
(c’est-à-dire un objet capable, à température ambiante, d’irradier dans
tout le spectre) dans les longueurs d’onde comprises entre 3μm et 14μm
(infrarouges). La résolution de ce problème s’effectue en calculant l’intégrale
E(T ) = 2.39 · 10
−11
14·10
−4
3·10 −4
dx
x 5 (e 1.432/(T x) − 1)
,
(4.1)
qui est l’équation de Planck pour l’énergie E(T ), où x est la longueur
d’onde (en cm) et T la température (en Kelvin) du corps noir. Pour le
calcul de cette intégrale voir l’Exercice 4.17.
Problème 4.3 (Electromagnétisme) Considérons un conducteur
électrique sphérique de rayon r et de conductivité σ. On veut calculer la distribution de la densité de courant j en fonction de r et t (le
temps), connaissant la distribution initiale de la densité de charge ρ(r).
Le problème peut être résolu en utilisant les relations entre densité de
courant, champ électrique et densité de charge, et en remarquant qu’avec
la symétrie de la configuration, j(r, t) = j(r, t)r/|r|, où j = |j|. On obtient
j(r, t) = γ(r)e
−σt/ε0 , γ(r) =
σ
ε 0 r 2
r
0
ρ(ξ)ξ
2 dξ,
(4.2)
où ε 0 = 8.859 · 10
−12 farad/m est la constante diélectrique du vide. Pour
le calcul de cette intégrale, voir l’Exercice 4.16.
Problème 4.4 (Démographie) On considère une population ayant
un très grand nombre M d’individus. La distribution n(s) de la taille
de ces individus peut être représentée par une “courbe en cloche” caractérisée par sa moyenne ¯
h et son écart type σ
n(s) =
M
σ
√
2π
e
−(s− ¯
h)
2 /(2σ
2 ) .