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Intégration et différentiation numérique
Nous présentons dans ce chapitre des méthodes pour approcher les dérivées et les intégrales de fonctions. Concernant l’intégration, on sait bien
qu’il n’est pas toujours possible, pour une fonction arbitraire, de trouver
la forme explicite d’une primitive. Mais même quand on la connaît, il
est parfois difficile de l’utiliser. C’est par exemple le cas de la fonction
f(x) = cos(4x) cos(3 sin(x)) pour laquelle on a
π
0
f(x)dx = π
3
2
4 ∞
k=0
(−9/4)
k
k!(k + 4)!
;
on voit que le calcul de l’intégrale est transformé en un calcul, aussi
difficile, de la somme d’une série. Dans certains cas, la fonction à intégrer
ou à différentier n’est connue que par les valeurs qu’elle prend sur un
ensemble fini de points (par exemple, des mesures expérimentales). On
se trouve alors dans la même situation que celle abordée au Chapitre 3
pour l’approximation des fonctions.
Dans tous ces cas, il faut considérer des méthodes numériques afin
d’approcher la quantité à laquelle on s’intéresse, indépendamment de la
difficulté à intégrer ou à dériver la fonction.
4.1 Quelques problèmes types
Problème 4.1 (Hydraulique) On considère un réservoir cylindrique
à base circulaire de rayon R = 1 m, rempli d’eau, et ayant à sa base un
trou d’évacuation de rayon r = 0.1 m. On mesure toutes les 5 secondes
la hauteur d’eau q(t) dans le réservoir (t désigne le temps)
t 0
5
1 0
1 5
2 0
q(t) 0.6350 0.5336 0.4410 0.3572 0.2822
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
Springer-Verlag Italia 2010