3.8 Exercices
107
Année
1975
1980
1985
1990
Europe de l’ouest
72.8
74.2
75.2
76.4
Europe de l’est
70.2
70.2
70.3
71.2
Utiliser le polynôme d’interpolation de degré 3 pour estimer l’espérance de vie
en 1977, 1983 et 1988.
Exercice 3.4 Le prix d’un magazine (en euros) a évolué de la manière suivante
Nov.87 Dec.88 Nov.90 Jan.93 Jan.95 Jan.96 Nov.96 Nov.00
4.5
5.0
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.0
Estimer son prix en novembre 2002 en extrapolant ces données.
Exercice 3.5 Reprendre l’Exercice 3.3 en utilisant à présent une spline d’interpolation cubique obtenue avec la fonction spline. Comparer les résultats
des deux approches.
Exercice 3.6 On indique dans le tableau ci-dessous les valeurs de la densité
de l’eau de mer ρ (en Kg/m
3 ) pour différentes températures T (en degrés Celsius)
T
4
o
8
o
12
o
16
o
20
o
ρ
1000.7794
1000.6427
1000.2805
999.7165
998.9700
Calculer la spline d’interpolation cubique s3 sur l’intervalle 4 ≤ T ≤ 20, divisé
en 4 sous-intervalles égaux. Comparer alors les résultats obtenus pour la spline
d’interpolation avec les valeurs suivantes (qui correspondent à des valeurs supplémentaires de T )
T
6
o
10
o
14
o
18
o
ρ
1000.74088
1000.4882
1000.0224
999.3650
Exercice 3.7 La production italienne de citrons a évolué de la manière suivante
Année
1965
1970
1980
1985
1990
1991
production (×10
5 Kg)
17769
24001
25961
34336
29036
33417
Utiliser des splines d’interpolation cubique de différents types pour estimer
la production en 1962, 1977 et 1992. Comparer ces résultats avec les valeurs
réelles : 12380, 27403 et 32059 (×10
5 Kg), respectivement. Reprendre les calculs avec un polynôme d’interpolation de Lagrange.
Exercice 3.8 Evaluer la fonction f (x) = sin(2πx) en 21 noeuds équidistants
de l’intervalle [−1, 1]. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange et la
spline d’interpolation cubique. Comparer les graphes de ces deux fonctions
avec celui de f sur l’intervalle donné. Reprendre le calcul avec les données
perturbées : f (xi) = (−1)
i+1 10
−4 (i = 0, . . . , n), et observer que le polynôme
de Lagrange est plus sensible aux petites perturbations que la spline cubique.
107
Année
1975
1980
1985
1990
Europe de l’ouest
72.8
74.2
75.2
76.4
Europe de l’est
70.2
70.2
70.3
71.2
Utiliser le polynôme d’interpolation de degré 3 pour estimer l’espérance de vie
en 1977, 1983 et 1988.
Exercice 3.4 Le prix d’un magazine (en euros) a évolué de la manière suivante
Nov.87 Dec.88 Nov.90 Jan.93 Jan.95 Jan.96 Nov.96 Nov.00
4.5
5.0
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.0
Estimer son prix en novembre 2002 en extrapolant ces données.
Exercice 3.5 Reprendre l’Exercice 3.3 en utilisant à présent une spline d’interpolation cubique obtenue avec la fonction spline. Comparer les résultats
des deux approches.
Exercice 3.6 On indique dans le tableau ci-dessous les valeurs de la densité
de l’eau de mer ρ (en Kg/m
3 ) pour différentes températures T (en degrés Celsius)
T
4
o
8
o
12
o
16
o
20
o
ρ
1000.7794
1000.6427
1000.2805
999.7165
998.9700
Calculer la spline d’interpolation cubique s3 sur l’intervalle 4 ≤ T ≤ 20, divisé
en 4 sous-intervalles égaux. Comparer alors les résultats obtenus pour la spline
d’interpolation avec les valeurs suivantes (qui correspondent à des valeurs supplémentaires de T )
T
6
o
10
o
14
o
18
o
ρ
1000.74088
1000.4882
1000.0224
999.3650
Exercice 3.7 La production italienne de citrons a évolué de la manière suivante
Année
1965
1970
1980
1985
1990
1991
production (×10
5 Kg)
17769
24001
25961
34336
29036
33417
Utiliser des splines d’interpolation cubique de différents types pour estimer
la production en 1962, 1977 et 1992. Comparer ces résultats avec les valeurs
réelles : 12380, 27403 et 32059 (×10
5 Kg), respectivement. Reprendre les calculs avec un polynôme d’interpolation de Lagrange.
Exercice 3.8 Evaluer la fonction f (x) = sin(2πx) en 21 noeuds équidistants
de l’intervalle [−1, 1]. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange et la
spline d’interpolation cubique. Comparer les graphes de ces deux fonctions
avec celui de f sur l’intervalle donné. Reprendre le calcul avec les données
perturbées : f (xi) = (−1)
i+1 10
−4 (i = 0, . . . , n), et observer que le polynôme
de Lagrange est plus sensible aux petites perturbations que la spline cubique.