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3 Approximation de fonctions et de données
La commande meshgrid transforme le domaine spécifié par les vecteurs
meshgrid
xi et yi en tableaux xf et yf pouvant être utilisés pour évaluer une
fonction de deux variables ou pour tracer une surface en 3 dimensions.
Les lignes de la matrice xf sont des copies du vecteur xi et les colonnes
de la matrice yf sont des copies du vecteur yi. Alternativement, on peut
utiliser la fonction griddata, ou griddata3 pour les données 3D, ou
griddata
griddata3
griddatan
griddatan pour le calage d’hypersurfaces en n dimensions.
Les commandes décrites ci-dessous ne concernent que MATLAB.
Quand Ω est un domaine bidimensionnel de forme quelconque, il peut
être subdivisé en triangles en utilisant l’interface graphique pdetool.
pdetool
Pour une présentation générale des fonctions splines voir p.ex. [Die93]
et [PBP02]. La toolbox splines permet d’explorer diverses applications
des splines. En particulier, la commande spdemos permet à l’utilisateur
spdemos
d’explorer les propriétés des principaux types de splines. Les splines rationnelles, c’est-à-dire les quotients de deux splines, sont obtenues avec
les commandes rpmak et rsmak. Un type particulier de splines, appelées
rpmak
rsmak NURBS, est très utilisé en CAO (Conception Assistée par Ordinateur).
Dans un cadre voisin de l’approximation de Fourier, mentionnons
l’approximation par ondelettes qui est très utilisée en reconstruction et
compression d’images et en analyse du signal (pour une introduction,
voir [DL92], [Urb02]). On trouvera une riche collection d’ondelettes (et
des applications) dans la toolbox wavelet de MATLAB.
wavelet
Octave 3.3 Le package Octave-Forge msh propose une interface pour
importer dans l’environnement Octave les maillages triangulaires ou
tétraédriques générés grâce à l’interface graphique de GMSH
(http://geuz.org/gmsh/).
Il y a un package splines dans Octave-Forge, mais ses fonctionnalités
sont limitées et il ne propose pas de commande spdemos. Le package
nurbs propose un ensemble de fonctions pour créer et gérer des surfaces
et des volumes NURBS.
3.8 Exercices
Exercice 3.1 Montrer l’inégalité (3.6).
Exercice 3.2 Majorer l’erreur d’interpolation de Lagrange pour les fonctions
suivantes
f1(x) = cosh(x), f2(x) = sinh(x), xk = −1 + 0.5k, k = 0, . . . , 4,
f3(x) = cos(x) + sin(x),
x k = −π/2 + πk/4, k = 0, . . . , 4.
Exercice 3.3 Les données suivantes concernent l’ des habitants de deux régions d’Europe
3 Approximation de fonctions et de données
La commande meshgrid transforme le domaine spécifié par les vecteurs
meshgrid
xi et yi en tableaux xf et yf pouvant être utilisés pour évaluer une
fonction de deux variables ou pour tracer une surface en 3 dimensions.
Les lignes de la matrice xf sont des copies du vecteur xi et les colonnes
de la matrice yf sont des copies du vecteur yi. Alternativement, on peut
utiliser la fonction griddata, ou griddata3 pour les données 3D, ou
griddata
griddata3
griddatan
griddatan pour le calage d’hypersurfaces en n dimensions.
Les commandes décrites ci-dessous ne concernent que MATLAB.
Quand Ω est un domaine bidimensionnel de forme quelconque, il peut
être subdivisé en triangles en utilisant l’interface graphique pdetool.
pdetool
Pour une présentation générale des fonctions splines voir p.ex. [Die93]
et [PBP02]. La toolbox splines permet d’explorer diverses applications
des splines. En particulier, la commande spdemos permet à l’utilisateur
spdemos
d’explorer les propriétés des principaux types de splines. Les splines rationnelles, c’est-à-dire les quotients de deux splines, sont obtenues avec
les commandes rpmak et rsmak. Un type particulier de splines, appelées
rpmak
rsmak NURBS, est très utilisé en CAO (Conception Assistée par Ordinateur).
Dans un cadre voisin de l’approximation de Fourier, mentionnons
l’approximation par ondelettes qui est très utilisée en reconstruction et
compression d’images et en analyse du signal (pour une introduction,
voir [DL92], [Urb02]). On trouvera une riche collection d’ondelettes (et
des applications) dans la toolbox wavelet de MATLAB.
wavelet
Octave 3.3 Le package Octave-Forge msh propose une interface pour
importer dans l’environnement Octave les maillages triangulaires ou
tétraédriques générés grâce à l’interface graphique de GMSH
(http://geuz.org/gmsh/).
Il y a un package splines dans Octave-Forge, mais ses fonctionnalités
sont limitées et il ne propose pas de commande spdemos. Le package
nurbs propose un ensemble de fonctions pour créer et gérer des surfaces
et des volumes NURBS.
3.8 Exercices
Exercice 3.1 Montrer l’inégalité (3.6).
Exercice 3.2 Majorer l’erreur d’interpolation de Lagrange pour les fonctions
suivantes
f1(x) = cosh(x), f2(x) = sinh(x), xk = −1 + 0.5k, k = 0, . . . , 4,
f3(x) = cos(x) + sin(x),
x k = −π/2 + πk/4, k = 0, . . . , 4.
Exercice 3.3 Les données suivantes concernent l’ des habitants de deux régions d’Europe