3.7 Ce qu’on ne vous a pas dit
105
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
−3.4
−3.35
−3.3
−3.25
−3.2
−3.15
−3.1
−3.05
−3
Figure 3.16. Approximation au sens des moindres carrés des données de
l’Exemple 3.16 en utilisant une base de cosinus. Les données exactes sont
représentées par les petits cercles
On peut aussi chercher à minimiser cette erreur à l’aide de fonctions
non polynomiales.
Voir les Exercices 3.9–3.14.
3.7 Ce qu’on ne vous a pas dit
Pour une introduction plus générale à la théorie de l’interpolation et de
l’approximation, le lecteur pourra consulter [Dav63], [Mei67] et [Gau97].
Les polynômes d’interpolation peuvent aussi approcher des données
ou des fonctions en plusieurs dimensions. En particulier, l’interpolation
composite, basée sur des fonctions linéaires par morceaux ou des splines,
est bien adaptée quand le domaine Ω est subdivisé en polygones en
2D (triangles ou quadrilatères) ou en polyèdres en 3D (tétraèdres ou
prismes).
Dans le cas particulier où Ω est un rectangle (resp. un parallélépipède) on peut utiliser simplement la commande interp2 (resp. interp2
interp3). Ceci suppose qu’on veuille représenter sur une grille régulière interp3
et fine une fonction dont les valeurs sont connues sur une grille régulière
plus grossière.
Par exemple, pour approcher avec une spline cubique les valeurs de
la fonction f(x, y) = sin(2πx) cos(2πy) pour une grille uniforme de 6 × 6
noeuds sur le carré [0, 1]
2 , on utilise les instructions suivantes :
[x , y ]= meshgrid ( 0 : 0 .2:1 , 0 : 0.2 :1);
z = sin (2* pi* x ).* cos (2* pi* y );
On obtient ainsi la spline d’interpolation cubique, évaluée sur une
grille uniforme de 21 × 21 noeuds :
xi = [ 0 : 0 .0 5:1]; yi = [ 0 : 0.05 :1];
[ xf , yf ]= meshgrid (xi , yi );
pi3 = interp2 (x ,y ,z , xf , yf );