104
3 Approximation de fonctions et de données
nov00
mai01
nov01
mai02
0
5
10
15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
σ
ε
Figure 3.15. A gauche, pour les données du Problème 3.2, approximation
au sens des moindres carrés de degré 1 (trait mixte), 2 (trait discontinu) et
4 (trait plein épais). Les données exactes sont représentées en trait plein. A
droite, approximation linéaire au sens des moindres carrés des données du
Problème 3.3
données de l’Exemple 3.1, en choisissant des fonctions trigonométriques
ψ j (x) = cos(γjx), j = 0, . . . , 4, avec γ = π/60.
Le lecteur pourra vérifier que les composantes de
˜
f (x) =
m
j=0
a j ψ j (x),
sont solutions du système suivant (appelé équations normales)
B
T Ba = B
T
y
(3.29)
où B est la matrice rectangulaire (n + 1) × (m + 1) de coefficients
b ij = ψ j (x i ), a est le vecteur des inconnues et y le vecteur des données. Le système linéaire (3.29) peut être efficacement résolu avec une
factorisation QR ou bien une décomposition en valeurs singulières de la
matrice B (voir Section 5.7).
Résumons-nous
1. L’interpolée linéaire par morceaux d’une fonction f est la fonction
continue, linéaire par morceaux, ˜
f , qui interpole f en un ensemble
de noeuds {x i }. On l’appelle aussi interpolation par éléments finis
linéaires (voir Chapitre 8). Avec cette approximation, on évite le
phénomène de Runge quand le nombre de noeuds augmente ;
2. l’interpolation par des splines cubiques permet d’approcher f par une
fonction cubique par morceaux ˜
f deux fois continûment dérivable ;
3. l’approximation au sens des moindres carrés consiste à chercher une
fonction ˜
f , polynomiale de degré m (typiquement m n) qui minimise le carré de la norme euclidienne de l’erreur
n
i=0 [y i − ˜
f (x i )]
2 .
3 Approximation de fonctions et de données
nov00
mai01
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mai02
0
5
10
15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
σ
ε
Figure 3.15. A gauche, pour les données du Problème 3.2, approximation
au sens des moindres carrés de degré 1 (trait mixte), 2 (trait discontinu) et
4 (trait plein épais). Les données exactes sont représentées en trait plein. A
droite, approximation linéaire au sens des moindres carrés des données du
Problème 3.3
données de l’Exemple 3.1, en choisissant des fonctions trigonométriques
ψ j (x) = cos(γjx), j = 0, . . . , 4, avec γ = π/60.
Le lecteur pourra vérifier que les composantes de
˜
f (x) =
m
j=0
a j ψ j (x),
sont solutions du système suivant (appelé équations normales)
B
T Ba = B
T
y
(3.29)
où B est la matrice rectangulaire (n + 1) × (m + 1) de coefficients
b ij = ψ j (x i ), a est le vecteur des inconnues et y le vecteur des données. Le système linéaire (3.29) peut être efficacement résolu avec une
factorisation QR ou bien une décomposition en valeurs singulières de la
matrice B (voir Section 5.7).
Résumons-nous
1. L’interpolée linéaire par morceaux d’une fonction f est la fonction
continue, linéaire par morceaux, ˜
f , qui interpole f en un ensemble
de noeuds {x i }. On l’appelle aussi interpolation par éléments finis
linéaires (voir Chapitre 8). Avec cette approximation, on évite le
phénomène de Runge quand le nombre de noeuds augmente ;
2. l’interpolation par des splines cubiques permet d’approcher f par une
fonction cubique par morceaux ˜
f deux fois continûment dérivable ;
3. l’approximation au sens des moindres carrés consiste à chercher une
fonction ˜
f , polynomiale de degré m (typiquement m n) qui minimise le carré de la norme euclidienne de l’erreur
n
i=0 [y i − ˜
f (x i )]
2 .