3.4 Interpolation linéaire par morceaux
95
−2
0
2
4
6
8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Figure 3.11. La fonction f (x) = x
2 + 10/(sin(x) + 1.2) (trait plein) et son
interpolation linéaire par morceau Π
H
1 f (trait discontinu)
5. l’interpolation trigonométrique est bien adaptée à l’approximation
des fonctions périodiques. Elle est basée sur le choix d’une fonction ˜
f
combinaison linéaire de sinus et de cosinus. La FFT est un algorithme
très efficace qui permet le calcul des coefficients de Fourier d’une
fonction d’interpolation trigonométrique à partir de ses valeurs aux
noeuds. Elle admet une inverse, la IFFT, également très rapide.
3.4 Interpolation linéaire par morceaux
L’interpolation aux noeuds de Chebyshev fournit une approximation précise de toute fonction régulière f dont l’expression est connue. Quand f
n’est pas régulière ou quand f n’est connue qu’en certains points (qui
ne coïncident pas avec les noeuds de Chebyshev), on peut recourir à une
autre méthode d’interpolation, appelée interpolation linéaire composite.
Etant donné une distribution (non nécessairement uniforme) de
noeuds x 0 < x 1 < . . . < x n , on note I i l’intervalle [x i , x i+1 ]. On approche
f par une fonction continue qui, sur chaque intervalle, est définie par le
segment joignant les deux points (x i , f(x i )) et (x i+1 , f(x i+1 )) (voir Figure 3.11). Cette fonction, notée Π
H
1 f, est appelée interpolation linéaire
par morceau et son expression est
Π H
1 f(x) = f(x i ) +
f(x i+1 ) − f(x i )
x i+1 − x i
(x − x i ) pour x ∈ I i .
L’exposant H désigne la longueur du plus grand intervalle I i .
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Figure 3.11. La fonction f (x) = x
2 + 10/(sin(x) + 1.2) (trait plein) et son
interpolation linéaire par morceau Π
H
1 f (trait discontinu)
5. l’interpolation trigonométrique est bien adaptée à l’approximation
des fonctions périodiques. Elle est basée sur le choix d’une fonction ˜
f
combinaison linéaire de sinus et de cosinus. La FFT est un algorithme
très efficace qui permet le calcul des coefficients de Fourier d’une
fonction d’interpolation trigonométrique à partir de ses valeurs aux
noeuds. Elle admet une inverse, la IFFT, également très rapide.
3.4 Interpolation linéaire par morceaux
L’interpolation aux noeuds de Chebyshev fournit une approximation précise de toute fonction régulière f dont l’expression est connue. Quand f
n’est pas régulière ou quand f n’est connue qu’en certains points (qui
ne coïncident pas avec les noeuds de Chebyshev), on peut recourir à une
autre méthode d’interpolation, appelée interpolation linéaire composite.
Etant donné une distribution (non nécessairement uniforme) de
noeuds x 0 < x 1 < . . . < x n , on note I i l’intervalle [x i , x i+1 ]. On approche
f par une fonction continue qui, sur chaque intervalle, est définie par le
segment joignant les deux points (x i , f(x i )) et (x i+1 , f(x i+1 )) (voir Figure 3.11). Cette fonction, notée Π
H
1 f, est appelée interpolation linéaire
par morceau et son expression est
Π H
1 f(x) = f(x i ) +
f(x i+1 ) − f(x i )
x i+1 − x i
(x − x i ) pour x ∈ I i .
L’exposant H désigne la longueur du plus grand intervalle I i .