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3 Approximation de fonctions et de données
Le résultat suivant découle de (3.7) avec n = 1 et h = H
Proposition 3.3 Si f ∈ C
2 (I), où I = [x 0 , x n ], alors
max
x∈I
|f(x) − Π
H
1 f(x)| ≤
H
2
8
max
x∈I
|f
(x)|.
Par conséquent, pour tout x dans l’intervalle d’interpolation, Π
H
1 f(x)
tend vers f(x) quand H → 0, à condition que f soit assez régulière.
Avec l’instruction s1=interp1(x,y,z), on peut calculer les valeurs
interp1
en des points arbitraires, stockés dans le vecteur z, de la fonction linéaire
par morceaux qui interpole les quantités y(i) aux noeuds x(i), pour i
= 1,...,n+1. Noter que la dimension de z est quelconque. Si les noeuds
sont rangés dans l’ordre croissant (i.e. x(i+1) > x(i), pour i=1,...,n)
on peut utiliser la version plus rapide interp1q (q vient de l’anglais quiinterp1q
ckly). Remarquer que la fonction interp1q est plus rapide que interp1
sur des noeuds non équidistribués car elle n’effectue aucune vérification
des données, mais les variables d’entrée de interp1q doivent être des
vecteurs colonnes alors que celles interp1 peuvent être indifféremment
des vecteurs lignes ou colonnes.
Il est intéressant de noter que la commande fplot, utilisée pour afficher le graphe d’une fonction f sur un intervalle donné [a, b], remplace
en fait la fonction par une interpolée linéaire par morceaux. Les points
d’interpolation sont générés automatiquement en tenant compte de la
fonction : ils sont plus nombreux autour des points où f présente de
fortes variations. Une procédure de ce type est appelée adaptative.
Octave 3.2 interp1q existe dans Octave depuis la version 3.2.0.
3.5 Approximation par fonctions splines
On peut définir l’interpolation polynomiale par morceaux de degré n ≥ 2
en procédant comme pour l’interpolation de degré 1. Par exemple, Π
H
2 f
est une fonction continue, polynomiale de degré 2 sur chaque intervalle
I i et qui interpole f aux extrémités et au milieu de I i . Si f ∈ C
3 (I),
l’erreur f − Π
H
2 f dans la norme du maximum décroit comme H
3 quand
H tend vers zéro.
Le principal défaut de cette interpolation par morceaux est que Π
H
k f,
k ≥ 1, est une fonction qui n’est “que” continue. Or, dans de nombreuses
applications, p.ex. en informatique graphique, il est préférable d’utiliser
des fonctions ayant au moins une dérivée continue.
On peut construire pour cela une fonction s 3 possédant les propriétés
suivantes :
3 Approximation de fonctions et de données
Le résultat suivant découle de (3.7) avec n = 1 et h = H
Proposition 3.3 Si f ∈ C
2 (I), où I = [x 0 , x n ], alors
max
x∈I
|f(x) − Π
H
1 f(x)| ≤
H
2
8
max
x∈I
|f
(x)|.
Par conséquent, pour tout x dans l’intervalle d’interpolation, Π
H
1 f(x)
tend vers f(x) quand H → 0, à condition que f soit assez régulière.
Avec l’instruction s1=interp1(x,y,z), on peut calculer les valeurs
interp1
en des points arbitraires, stockés dans le vecteur z, de la fonction linéaire
par morceaux qui interpole les quantités y(i) aux noeuds x(i), pour i
= 1,...,n+1. Noter que la dimension de z est quelconque. Si les noeuds
sont rangés dans l’ordre croissant (i.e. x(i+1) > x(i), pour i=1,...,n)
on peut utiliser la version plus rapide interp1q (q vient de l’anglais quiinterp1q
ckly). Remarquer que la fonction interp1q est plus rapide que interp1
sur des noeuds non équidistribués car elle n’effectue aucune vérification
des données, mais les variables d’entrée de interp1q doivent être des
vecteurs colonnes alors que celles interp1 peuvent être indifféremment
des vecteurs lignes ou colonnes.
Il est intéressant de noter que la commande fplot, utilisée pour afficher le graphe d’une fonction f sur un intervalle donné [a, b], remplace
en fait la fonction par une interpolée linéaire par morceaux. Les points
d’interpolation sont générés automatiquement en tenant compte de la
fonction : ils sont plus nombreux autour des points où f présente de
fortes variations. Une procédure de ce type est appelée adaptative.
Octave 3.2 interp1q existe dans Octave depuis la version 3.2.0.
3.5 Approximation par fonctions splines
On peut définir l’interpolation polynomiale par morceaux de degré n ≥ 2
en procédant comme pour l’interpolation de degré 1. Par exemple, Π
H
2 f
est une fonction continue, polynomiale de degré 2 sur chaque intervalle
I i et qui interpole f aux extrémités et au milieu de I i . Si f ∈ C
3 (I),
l’erreur f − Π
H
2 f dans la norme du maximum décroit comme H
3 quand
H tend vers zéro.
Le principal défaut de cette interpolation par morceaux est que Π
H
k f,
k ≥ 1, est une fonction qui n’est “que” continue. Or, dans de nombreuses
applications, p.ex. en informatique graphique, il est préférable d’utiliser
des fonctions ayant au moins une dérivée continue.
On peut construire pour cela une fonction s 3 possédant les propriétés
suivantes :