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3 Approximation de fonctions et de données
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1
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3
4
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−2
−1.5
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−0.5
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Figure 3.10. Effet d’aliasing. A gauche, comparaison entre la fonction f (x) =
sin(x) + sin(5x) (trait plein) et son interpolée trigonométrique (3.16) avec
M = 3 (trait discontinu). A droite, les fonctions sin(5x) (trait discontinu) et
− sin(3x) (pointillés) prennent les mêmes valeurs aux noeuds d’interpolation.
Ceci explique la mauvaise précision observée à gauche
terférer avec les basses fréquences, ce qui rend l’interpolation imprécise.
Pour obtenir une meilleure approximation des fonctions comportant de
hautes fréquences, il faut augmenter le nombre de noeuds d’interpolation.
Un exemple de la vie courante où se produit un phénomène d’aliasing
est l’apparente inversion du sens de rotation des roues d’un chariot.
Quand une vitesse critique est atteinte, le cerveau humain n’est plus
capable d’échantillonner correctement les mouvements et perçoit donc
des images altérées.
Résumons-nous
1. Approcher un ensemble de données ou une fonction f dans [a, b]
consiste à trouver une fonction ˜
f capable de les représenter avec
suffisamment de précision ;
2. l’interpolation consiste à déterminer une fonction ˜
f telle que ˜
f (x i ) =
y i , où les {x i } sont des noeuds donnés et les {y i } sont soit de la forme
{f(x i )}, soit des valeurs prescrites ;
3. si les n + 1 noeuds {x i } sont distincts, il existe un unique polynôme
de degré inférieur ou égal à n qui interpole les valeurs données {y i }
aux noeuds {x i } ;
4. pour une distribution de noeuds équidistants dans [a, b], l’erreur d’interpolation en un point quelconque de [a, b] ne tend pas nécessairement vers 0 quand n tend vers l’infini. Néanmoins, il existe des
noeuds particuliers, par exemple ceux de Chebyshev, pour lesquels
on a cette propriété de convergence pour toutes les fonctions continûment différentiables ;
3 Approximation de fonctions et de données
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Figure 3.10. Effet d’aliasing. A gauche, comparaison entre la fonction f (x) =
sin(x) + sin(5x) (trait plein) et son interpolée trigonométrique (3.16) avec
M = 3 (trait discontinu). A droite, les fonctions sin(5x) (trait discontinu) et
− sin(3x) (pointillés) prennent les mêmes valeurs aux noeuds d’interpolation.
Ceci explique la mauvaise précision observée à gauche
terférer avec les basses fréquences, ce qui rend l’interpolation imprécise.
Pour obtenir une meilleure approximation des fonctions comportant de
hautes fréquences, il faut augmenter le nombre de noeuds d’interpolation.
Un exemple de la vie courante où se produit un phénomène d’aliasing
est l’apparente inversion du sens de rotation des roues d’un chariot.
Quand une vitesse critique est atteinte, le cerveau humain n’est plus
capable d’échantillonner correctement les mouvements et perçoit donc
des images altérées.
Résumons-nous
1. Approcher un ensemble de données ou une fonction f dans [a, b]
consiste à trouver une fonction ˜
f capable de les représenter avec
suffisamment de précision ;
2. l’interpolation consiste à déterminer une fonction ˜
f telle que ˜
f (x i ) =
y i , où les {x i } sont des noeuds donnés et les {y i } sont soit de la forme
{f(x i )}, soit des valeurs prescrites ;
3. si les n + 1 noeuds {x i } sont distincts, il existe un unique polynôme
de degré inférieur ou égal à n qui interpole les valeurs données {y i }
aux noeuds {x i } ;
4. pour une distribution de noeuds équidistants dans [a, b], l’erreur d’interpolation en un point quelconque de [a, b] ne tend pas nécessairement vers 0 quand n tend vers l’infini. Néanmoins, il existe des
noeuds particuliers, par exemple ceux de Chebyshev, pour lesquels
on a cette propriété de convergence pour toutes les fonctions continûment différentiables ;