3.3 Interpolation
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−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Figure 3.9. La fonction f (x) = x(x − 2π)e
−x (trait discontinu) et son interpolation trigonométrique (trait plein) en 10 noeuds équidistants
La commande interpft renvoie la fonction d’interpolation trigono- interpft
métrique d’un ensemble de données réelles. Elle réclame en entrée un
entier m et un vecteur dont les composantes représentent les valeurs
prises par une fonction (périodique de période p) aux points x j = jp/(n+
1), j = 0, . . . , n. interpft renvoie les m valeurs réelles de la fonction
d’interpolation trigonométrique, obtenue par transformation de Fourier,
aux noeuds t i = ip/m, i = 0, . . ., m − 1. Par exemple, considérons à
nouveau la fonction de l’Exemple 3.6 dans [0, 2π] et prenons ses valeurs
aux 10 noeuds équidistants x j = jπ/5, j = 0, . . ., 9. Les valeurs de
la fonction d’interpolation trigonométrique aux 100 noeuds équidistants
t i = 2iπ/100, i = 0, . . . , 99 peuvent être obtenues ainsi (voir Figure 3.9)
n =9; x =2* pi /(n +1)*[0: n ]; y =x .*(x -2* pi ).* exp ( -x );
z = interpft (y ,100);
Dans certains cas, la précision de l’interpolation trigonométrique peut
être très mauvaise, comme le montre l’exemple suivant.
Exemple 3.7 Approchons la fonction f (x) = f1(x) + f2(x) où f1(x) = sin(x)
et f2(x) = sin(5x), en utilisant neuf noeuds équidistants dans l’intervalle
[0, 2π]. Le résultat est tracé sur la Figure 3.10, à gauche. Remarquer que sur
certains intervalles, l’interpolée trigonométrique présente même des inversions
de phase par rapport à la fonction f .
Ce manque de précision peut s’expliquer ainsi. Sur les noeuds considérés, la fonction f 2 coïncide avec f 3 (x) = − sin(3x) qui a une fréquence
plus faible (voir Figure 3.10, à droite). La fonction effectivement approchée est donc F (x) = f 1 (x) + f 3 (x) et non f(x) (la ligne en trait
discontinu de la Figure 3.10, à gauche coïncide effectivement avec F ).
Ce phénomène, connu sous le nom d’aliasing, peut se produire quand
la fonction à approcher est la somme de plusieurs contributions de fréquences différentes. Quand le nombre de noeuds n’est pas assez élevé
pour résoudre les fréquences les plus hautes, ces dernières peuvent in-
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Figure 3.9. La fonction f (x) = x(x − 2π)e
−x (trait discontinu) et son interpolation trigonométrique (trait plein) en 10 noeuds équidistants
La commande interpft renvoie la fonction d’interpolation trigono- interpft
métrique d’un ensemble de données réelles. Elle réclame en entrée un
entier m et un vecteur dont les composantes représentent les valeurs
prises par une fonction (périodique de période p) aux points x j = jp/(n+
1), j = 0, . . . , n. interpft renvoie les m valeurs réelles de la fonction
d’interpolation trigonométrique, obtenue par transformation de Fourier,
aux noeuds t i = ip/m, i = 0, . . ., m − 1. Par exemple, considérons à
nouveau la fonction de l’Exemple 3.6 dans [0, 2π] et prenons ses valeurs
aux 10 noeuds équidistants x j = jπ/5, j = 0, . . ., 9. Les valeurs de
la fonction d’interpolation trigonométrique aux 100 noeuds équidistants
t i = 2iπ/100, i = 0, . . . , 99 peuvent être obtenues ainsi (voir Figure 3.9)
n =9; x =2* pi /(n +1)*[0: n ]; y =x .*(x -2* pi ).* exp ( -x );
z = interpft (y ,100);
Dans certains cas, la précision de l’interpolation trigonométrique peut
être très mauvaise, comme le montre l’exemple suivant.
Exemple 3.7 Approchons la fonction f (x) = f1(x) + f2(x) où f1(x) = sin(x)
et f2(x) = sin(5x), en utilisant neuf noeuds équidistants dans l’intervalle
[0, 2π]. Le résultat est tracé sur la Figure 3.10, à gauche. Remarquer que sur
certains intervalles, l’interpolée trigonométrique présente même des inversions
de phase par rapport à la fonction f .
Ce manque de précision peut s’expliquer ainsi. Sur les noeuds considérés, la fonction f 2 coïncide avec f 3 (x) = − sin(3x) qui a une fréquence
plus faible (voir Figure 3.10, à droite). La fonction effectivement approchée est donc F (x) = f 1 (x) + f 3 (x) et non f(x) (la ligne en trait
discontinu de la Figure 3.10, à gauche coïncide effectivement avec F ).
Ce phénomène, connu sous le nom d’aliasing, peut se produire quand
la fonction à approcher est la somme de plusieurs contributions de fréquences différentes. Quand le nombre de noeuds n’est pas assez élevé
pour résoudre les fréquences les plus hautes, ces dernières peuvent in-