90
3 Approximation de fonctions et de données
3.3.4 Interpolation trigonométrique et FFT
On veut approcher une fonction périodique f : [0, 2π] → C, i.e. satisfaisant f(0) = f(2π), par un polynôme trigonométrique ˜
f qui interpole f
aux n + 1 noeuds équirépartis x j = 2πj/(n + 1), j = 0, . . ., n, i.e.
˜
f (x j ) = f(x j ), pour j = 0, . . . , n.
(3.15)
La fonction d’interpolation trigonométrique ˜
f est une combinaison linéaire de sinus et de cosinus.
Considérons pour commencer le cas où n est pair. On cherche une
fonction
˜
f (x) =
a 0
2
+
M
k=1
[a k cos(kx) + b k sin(kx)] ,
(3.16)
avec M = n/2, où les coefficients complexes a k , k = 0, . . ., M et b k , k =
1, . . . , M sont inconnus. En utilisant la formule d’Euler e
ikx = cos(kx) +
i sin(kx), le polynôme trigonometrique (3.16) s’écrit
˜
f (x) =
M
k=−M
c k e
ikx ,
(3.17)
où i est le nombre imaginaire et les coefficients c k , pour k = 0, ..., M ,
sont reliés aux coefficients a k et b k par les formules
a k = c k + c −k ,
b k = i(c k − c −k ).
(3.18)
En utilisant les propriétés de parité des fonctions sinus et cosinus, on a
M
k=−M
c k e
ikx =
M
k=−M
c k (cos(kx) + i sin(kx))
= c 0 +
M
k=1
[c k (cos(kx) + i sin(kx)) + c −k (cos(kx) − i sin(kx))]
= c 0 +
M
k=1
[(c k + c −k ) cos(kx) + i(c k − c −k ) sin(kx))] .
Quand n est impair, le polynôme trigonométrique ˜
f est défini par
˜
f (x) =
M +1
k=−(M +1)
c k e
ikx ,
(3.19)
avec M = (n − 1)/2. Noter qu’il y a n + 2 coefficients inconnus dans
(3.19), alors qu’il n’y a que n + 1 conditions d’interpolation (3.15). Une