3.3 Interpolation
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solution possible consiste à imposer c −(M +1) = c (M +1) , comme le fait
MATLAB dans la fonction interpft.
Quand n est impair, on peut encore écrire ˜
f comme la somme de
sinus et cosinus et obtenir une formulaire similaire à (3.16) dans laquelle
l’indice de sommation k va de 1 à M + 1. Les coefficients c k dans (3.19)
sont encore reliés aux coefficients a k et b k par les formules (3.18), mais
pour k allant de 0 à M + 1. Pour k = M + 1 on a a (M +1) = 2c (M +1) et
b (M +1) = 0.
Pour unifier les deux cas, on définit un paramètre μ valant 0 quand
n est pair, et 1 quand n est impair. On peut alors écrire l’interpolation
polynomiale de façon générale comme
˜
f (x) =
M +μ
k=−(M +μ)
c k e
ikx .
(3.20)
A cause de la similitude avec les séries de Fourier on appelle aussi ˜
f
série de Fourier discrète de f. En écrivant les conditions d’interpolation
aux noeuds x j = jh, avec h = 2π/(n + 1), on trouve
M +μ
k=−(M +μ)
c k e
ikjh = f(x j ), j = 0, . . ., n.
(3.21)
Pour calculer les coefficients {c k }, on multiplie l’équation (3.21) par
e
−imxj = e
−imjh où m est un entier compris entre 0 et n, et on somme
sur j
n
j=0
M +μ
k=−(M +μ)
c k e
ikjh e
−imjh =
n
j=0
f(x j )e
−imjh .
(3.22)
Vérifions l’identité
n
j=0
e
ijh(k−m) = (n + 1)δ km ,
qui est évidemment vraie quand k = m. Quand k = m, elle découle de
la relation
n
j=0
e
ijh(k−m) =
1 − (e
i(k−m)h )
n+1
1 − e i(k−m)h ,
en remarquant que le numérateur du membre de droite s’annule, puisque
1 − e
i(k−m)h(n+1) = 1 − e
i(k−m)2π
= 1 − cos((k − m)2π) − i sin((k − m)2π).