Eléments de lubrification
459
En intégrant et considérant une section d’épaisseur H pour laquelle dp/
dx = 0, on retrouve l’équation que Reynolds (1886) et Sommerfeld (1904)
étudièrent:
(26.28)
La connaissance d’une condition aux limites sera nécessaire pour évaluer H.
• Cas du palier infiniment court: En considérant le palier infiniment court, on
suppose un gradient de pression beaucoup plus petit dans la direction du mouvement (direction des x) que dans la direction perpendiculaire (direction des y).
Soit b la largeur (selon y) et l la longueur (selon x). Le gradient ∂p/∂x est de
l’ordre de p/l dans la direction des x et le gradient ∂p/∂y de l’ordre de p/b dans la
direction des y. Si l » b, p/b » p/l et ∂p/∂x «∂p/∂y, on peut négliger ∂p/∂x par rapport à ∂p/∂y et l’équation de Reynolds (26.28) devient:
(26.29)
Habituellement, h est indépendant de y et ne dépend que de x. Le premier membre
peut donc s’écrire: h 3 d 2 p/dy 2 , d’où:
(26.30)
C’est l’équation de Michell qui donne:
La symétrie par rapport au plan x O z permet d’écrire: dp/dx = 0 pour y = 0
(pression nulle aux extrémités du palier). On en déduit que C 1 = 0 et comme p = 0
lorsque y = ± b/2:
d’où
(26.31)
Cette expression s’applique aux disques minces et aux paliers étroits (rapport
largeur/diamètre inférieur à l/4). Elle ne s’applique pas aux blochets Michell, car
la pression ne s’annule pas à l’entrée et à la sortie du palier.
La figure 26.14 présente la répartition des pressions dans les deux hypothèses.
dp
dx
----- -
6ηU
h H
–
h 3
------------=
∂
∂y
----- h 3 ∂p
∂y
----- -
6ηU
dh
dx
----- -
=
d 2 p
dy 2
-------- -
6ηU
h 3
----------dh
dx
----- -
=
p
3ηU
h 3
----------dh
dx
----- - y 2 C 1 y C 2
+
+
=
C 2
3ηU
h 3
----------dh
dx
----- -
b 2
4
---- -
–
=
p
3ηU
h 3
----------dh
dx
----- - y 2 b 2
4
---- -
–
=
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En intégrant et considérant une section d’épaisseur H pour laquelle dp/
dx = 0, on retrouve l’équation que Reynolds (1886) et Sommerfeld (1904)
étudièrent:
(26.28)
La connaissance d’une condition aux limites sera nécessaire pour évaluer H.
• Cas du palier infiniment court: En considérant le palier infiniment court, on
suppose un gradient de pression beaucoup plus petit dans la direction du mouvement (direction des x) que dans la direction perpendiculaire (direction des y).
Soit b la largeur (selon y) et l la longueur (selon x). Le gradient ∂p/∂x est de
l’ordre de p/l dans la direction des x et le gradient ∂p/∂y de l’ordre de p/b dans la
direction des y. Si l » b, p/b » p/l et ∂p/∂x «∂p/∂y, on peut négliger ∂p/∂x par rapport à ∂p/∂y et l’équation de Reynolds (26.28) devient:
(26.29)
Habituellement, h est indépendant de y et ne dépend que de x. Le premier membre
peut donc s’écrire: h 3 d 2 p/dy 2 , d’où:
(26.30)
C’est l’équation de Michell qui donne:
La symétrie par rapport au plan x O z permet d’écrire: dp/dx = 0 pour y = 0
(pression nulle aux extrémités du palier). On en déduit que C 1 = 0 et comme p = 0
lorsque y = ± b/2:
d’où
(26.31)
Cette expression s’applique aux disques minces et aux paliers étroits (rapport
largeur/diamètre inférieur à l/4). Elle ne s’applique pas aux blochets Michell, car
la pression ne s’annule pas à l’entrée et à la sortie du palier.
La figure 26.14 présente la répartition des pressions dans les deux hypothèses.
dp
dx
----- -
6ηU
h H
–
h 3
------------=
∂
∂y
----- h 3 ∂p
∂y
----- -
6ηU
dh
dx
----- -
=
d 2 p
dy 2
-------- -
6ηU
h 3
----------dh
dx
----- -
=
p
3ηU
h 3
----------dh
dx
----- - y 2 C 1 y C 2
+
+
=
C 2
3ηU
h 3
----------dh
dx
----- -
b 2
4
---- -
–
=
p
3ηU
h 3
----------dh
dx
----- - y 2 b 2
4
---- -
–
=