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Analyse et technologie des surfaces
Sous cette forme elle est inutilisable car trop de paramètres peuvent varier
simultanément. On la simplifie à l’aide des considérations ci-après:
1. Il est d’usage de poser U = U 1 – U 0 et V = V 1 + V 0 .
2. Il est rare qu’un système puisse être le siège d’un coin d’huile et d’une
vitesse de glissement dans deux directions perpendiculaires. Aussi est-il
courant d’admettre: ∂ (Uh)/∂x = 0 ou ∂ (Vh)/∂y = 0.
Avec cette hypothèse le second membre de l’équation (26.25) devient:
3. Sachant que la vitesse d’une surface ne varie pas d’un point à un autre, U est
indépendant de x et par conséquent ∂Uh/∂x peut s’écrire U dh/dx.
4. Si les surfaces sont imperméables: ∂W/∂z = ∂h/∂t. Le second membre se
réduit à
5. Le terme U dh/dx explicite l’existence d’un coin d’huile, alors que le terme
dh/dt caractérise l’effet d’écrasement du film (squeeze film). Sauf cas de
vibrations axiales des axes de turbines ou de charges alternatives des paliers
de moteurs ou de compresseurs, en régime établi, ce terme est nul.
L’équation de Reynolds prend alors la forme classique pour les patins:
(26.26)
Il s’agit d’une équation elliptique aux dérivées partielles du second ordre qui
ne peut se résoudre analytiquement que dans quelques cas simples: par des fonctions de Bessel (patins rectangulaires, Michell), par analogie électrique (Kingsbury) ou par méthode numérique (Méthode des différences finies ou des éléments
finis).
Sommerfeld l’a résolu dans le cas des paliers en négligeant l’écoulement
latéral: hypothèse du palier infiniment long. Une autre solution unidimensionnelle
consiste à étudier un palier infiniment court: longueur du palier très faible vis-à-vis
de son diamètre. Pour les paliers de longueur finie, plusieurs méthodes de calcul
sont proposées: analogie électrique, développement en séries, méthodes numériques.
• Cas du palier infiniment long: Dans l’hypothèse d’un palier sans fuites latérales, palier infiniment long (selon l’axe Oy), toutes les dérivées par rapport
à y sont nulles et l’équation se réduit à:
(26.27)
6η
∂Uh
∂x
---------- - 2
∂W
∂z
-------+
6η U
dh
dx
----- - 2
dh
dt
----- -
+
∂
∂x
----- - h 3 ∂p
∂x
----- -
∂
∂y
----- h 3 ∂p
∂y
----- -
+
6ηU
dh
dx
----- -
=
∂
∂x
----- - h 3 ∂p
∂x
----- -
6ηU
dh
dt
----- -
=
Analyse et technologie des surfaces
Sous cette forme elle est inutilisable car trop de paramètres peuvent varier
simultanément. On la simplifie à l’aide des considérations ci-après:
1. Il est d’usage de poser U = U 1 – U 0 et V = V 1 + V 0 .
2. Il est rare qu’un système puisse être le siège d’un coin d’huile et d’une
vitesse de glissement dans deux directions perpendiculaires. Aussi est-il
courant d’admettre: ∂ (Uh)/∂x = 0 ou ∂ (Vh)/∂y = 0.
Avec cette hypothèse le second membre de l’équation (26.25) devient:
3. Sachant que la vitesse d’une surface ne varie pas d’un point à un autre, U est
indépendant de x et par conséquent ∂Uh/∂x peut s’écrire U dh/dx.
4. Si les surfaces sont imperméables: ∂W/∂z = ∂h/∂t. Le second membre se
réduit à
5. Le terme U dh/dx explicite l’existence d’un coin d’huile, alors que le terme
dh/dt caractérise l’effet d’écrasement du film (squeeze film). Sauf cas de
vibrations axiales des axes de turbines ou de charges alternatives des paliers
de moteurs ou de compresseurs, en régime établi, ce terme est nul.
L’équation de Reynolds prend alors la forme classique pour les patins:
(26.26)
Il s’agit d’une équation elliptique aux dérivées partielles du second ordre qui
ne peut se résoudre analytiquement que dans quelques cas simples: par des fonctions de Bessel (patins rectangulaires, Michell), par analogie électrique (Kingsbury) ou par méthode numérique (Méthode des différences finies ou des éléments
finis).
Sommerfeld l’a résolu dans le cas des paliers en négligeant l’écoulement
latéral: hypothèse du palier infiniment long. Une autre solution unidimensionnelle
consiste à étudier un palier infiniment court: longueur du palier très faible vis-à-vis
de son diamètre. Pour les paliers de longueur finie, plusieurs méthodes de calcul
sont proposées: analogie électrique, développement en séries, méthodes numériques.
• Cas du palier infiniment long: Dans l’hypothèse d’un palier sans fuites latérales, palier infiniment long (selon l’axe Oy), toutes les dérivées par rapport
à y sont nulles et l’équation se réduit à:
(26.27)
6η
∂Uh
∂x
---------- - 2
∂W
∂z
-------+
6η U
dh
dx
----- - 2
dh
dt
----- -
+
∂
∂x
----- - h 3 ∂p
∂x
----- -
∂
∂y
----- h 3 ∂p
∂y
----- -
+
6ηU
dh
dx
----- -
=
∂
∂x
----- - h 3 ∂p
∂x
----- -
6ηU
dh
dt
----- -
=