Eléments de lubrification
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Les hypothèses suivantes sont faites implicitement jusqu’ici:
• seules interviennent des pressions et des forces de viscosité; l’écoulement
est laminaire; nombre de Reynolds < 1500;
• il n’y a pas de fuites latérales, donc ni vitesse ni effort suivant y;
• le film d’huile est assez mince pour que l’on puisse admettre que la pression
et la viscosité ne dépendent que de x;
• la couche d’huile au contact avec la paroi a la même vitesse que celle-ci.
La relation de Newton-Navier (26.1) permet d’écrire:
(26.9)
avec u, la vitesse de la lame d’huile située au niveau z.
Deux intégrations successives avec comme conditions aux limites:
• u = 0 pour z = 0
• u = U pour z = h
conduisent à:
(26.10)
Il y a superposition du régime d’écoulement linéaire u 1 rencontré lors de l’établissement de la loi de Newton avec un régime d’écoulement parabolique u 2 de type
Poiseuille. Le premier ne peut supporter aucune charge et correspond au débit
d’huile, par unité de largeur du film. Il entraîne une perte d’énergie par frottement:
(26.11)
Le second permet de maintenir dans le film la pression p(x) et par suite de supporter la charge ∫∫p(x)dS dans la mesure où l’alimentation en huile est elle-même
assurée par le débit d’huile par unité de largeur:
(26.12)
(débit compté positivement dans le sens des pressions décroissantes).
La relation (26.12) montre que pour séparer l’une de l’autre deux surfaces en
injectant sous pression un liquide visqueux, il faut entretenir un débit proportionnel
dp
dx
----- -
η
d 2 u
dz 2
-------=
u
u 2 u 1
z z h
–
(
)
2η
-----------------dp
dx
----- -
U
h
----z
+
+
=
Q 1
u 1 z
d
0
h
∫
U
h
---- z z
d
0
h
∫
Uh
2
------=
=
=
Q 2
u 2 z
d
0
h
∫
1
2η
-----dp
dx
----- - z z h
–
(
) z
d
0
h
∫
h 3
12η
--------dp
dx
----- -
=
=
=
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Les hypothèses suivantes sont faites implicitement jusqu’ici:
• seules interviennent des pressions et des forces de viscosité; l’écoulement
est laminaire; nombre de Reynolds < 1500;
• il n’y a pas de fuites latérales, donc ni vitesse ni effort suivant y;
• le film d’huile est assez mince pour que l’on puisse admettre que la pression
et la viscosité ne dépendent que de x;
• la couche d’huile au contact avec la paroi a la même vitesse que celle-ci.
La relation de Newton-Navier (26.1) permet d’écrire:
(26.9)
avec u, la vitesse de la lame d’huile située au niveau z.
Deux intégrations successives avec comme conditions aux limites:
• u = 0 pour z = 0
• u = U pour z = h
conduisent à:
(26.10)
Il y a superposition du régime d’écoulement linéaire u 1 rencontré lors de l’établissement de la loi de Newton avec un régime d’écoulement parabolique u 2 de type
Poiseuille. Le premier ne peut supporter aucune charge et correspond au débit
d’huile, par unité de largeur du film. Il entraîne une perte d’énergie par frottement:
(26.11)
Le second permet de maintenir dans le film la pression p(x) et par suite de supporter la charge ∫∫p(x)dS dans la mesure où l’alimentation en huile est elle-même
assurée par le débit d’huile par unité de largeur:
(26.12)
(débit compté positivement dans le sens des pressions décroissantes).
La relation (26.12) montre que pour séparer l’une de l’autre deux surfaces en
injectant sous pression un liquide visqueux, il faut entretenir un débit proportionnel
dp
dx
----- -
η
d 2 u
dz 2
-------=
u
u 2 u 1
z z h
–
(
)
2η
-----------------dp
dx
----- -
U
h
----z
+
+
=
Q 1
u 1 z
d
0
h
∫
U
h
---- z z
d
0
h
∫
Uh
2
------=
=
=
Q 2
u 2 z
d
0
h
∫
1
2η
-----dp
dx
----- - z z h
–
(
) z
d
0
h
∫
h 3
12η
--------dp
dx
----- -
=
=
=