Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 35
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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2 – Représentation des nombres
Le choix de faire des paquets de dix est conventionnel : on aurait tout aussi bien pu décider
de faire des paquets de deux, de cinq, de douze, de vingt, de soixante, etc. On écrirait alors
les nombres entiers naturels en notation à position en base deux, cinq, douze, vingt ou
soixante. La notation décimale s’appelle donc aussi notation à position en base dix.
EN PRATIQUE Les bases en informatique
Comme on le verra par la suite, la base deux joue un rôle prépondérant en informatique, en
raison de l’organisation de la mémoire sous forme de suites de bits. L’autre base également
utilisée de façon fréquente est la base 16, dite hexadécimale. Elle permet de décrire ou
de manipuler une longue suite de bits sans lui donner de signification particulière. C’est
utile pour créer une clé de connexion à un réseau WiFi ou une adresse mémoire. Il devient
vite malcommode de le faire en base deux et on multiplie les risques d’erreurs alors que ce
sont justement des données sur lesquelles une erreur est fatale. On regroupe donc ces bits
par paquets de quatre, ce qui donne des valeurs en base 2 4 = 16 (voir plus loin l’exercice
corrigé 2.7 pour leur écriture). L’écriture obtenue est plus compacte (4 fois moins de chiffres
pour un même nombre) mais reste manipulable. Une autre solution aurait été de regrouper
les bits par paquets de 8, comme on le fait dans les octets ; mais il aurait alors fallu 2 8 = 256
chiffres différents, et l’alphabet n’y suffirait plus. Un octet sera donc représenté par deux
chiffres hexadécimaux.
Dans ce livre, quand une suite de chiffres exprime un nombre dans une base différente de
dix, on indique la base en indice, par exemple : 1101 2 . On souligne aussi parfois un mot
pour indiquer qu’il exprime un nombre en base deux : 1101. Enfin, on rassemble parfois
les bits par groupes de quatre ou de huit dans les mots très longs pour qu’ils soient plus
faciles à lire : 1111111101 est écrit 11 1111 1101. Comme en base dix, ces groupes sont
formés de droite à gauche.
SAVOIR-FAIRE Représenter en base k un entier naturel donné
en base dix
Pour écrire les entiers naturels en base k, on a besoin de k chiffres. Quand on a
n objets, on les groupe par paquets de k, puis on groupe ces paquets en paquets de
k paquets, etc. Autrement dit, on fait une succession de divisions par k, jusqu’à obtenir
un quotient égal à 0.
Plus formellement, si l’on note a i . . . a 1 a 0 l’écriture de n en base k, elle est obtenue
par l’algorithme suivant :
Données : n, k
i ← 0
tant que n ̸ = 0 faire
a i ← reste de la division euclidienne de n par k
n ← quotient de la division euclidienne de n par k
i ← i + 1
Résultat : la représentation a i . . . a 1 a 0 .
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2 – Représentation des nombres
Le choix de faire des paquets de dix est conventionnel : on aurait tout aussi bien pu décider
de faire des paquets de deux, de cinq, de douze, de vingt, de soixante, etc. On écrirait alors
les nombres entiers naturels en notation à position en base deux, cinq, douze, vingt ou
soixante. La notation décimale s’appelle donc aussi notation à position en base dix.
EN PRATIQUE Les bases en informatique
Comme on le verra par la suite, la base deux joue un rôle prépondérant en informatique, en
raison de l’organisation de la mémoire sous forme de suites de bits. L’autre base également
utilisée de façon fréquente est la base 16, dite hexadécimale. Elle permet de décrire ou
de manipuler une longue suite de bits sans lui donner de signification particulière. C’est
utile pour créer une clé de connexion à un réseau WiFi ou une adresse mémoire. Il devient
vite malcommode de le faire en base deux et on multiplie les risques d’erreurs alors que ce
sont justement des données sur lesquelles une erreur est fatale. On regroupe donc ces bits
par paquets de quatre, ce qui donne des valeurs en base 2 4 = 16 (voir plus loin l’exercice
corrigé 2.7 pour leur écriture). L’écriture obtenue est plus compacte (4 fois moins de chiffres
pour un même nombre) mais reste manipulable. Une autre solution aurait été de regrouper
les bits par paquets de 8, comme on le fait dans les octets ; mais il aurait alors fallu 2 8 = 256
chiffres différents, et l’alphabet n’y suffirait plus. Un octet sera donc représenté par deux
chiffres hexadécimaux.
Dans ce livre, quand une suite de chiffres exprime un nombre dans une base différente de
dix, on indique la base en indice, par exemple : 1101 2 . On souligne aussi parfois un mot
pour indiquer qu’il exprime un nombre en base deux : 1101. Enfin, on rassemble parfois
les bits par groupes de quatre ou de huit dans les mots très longs pour qu’ils soient plus
faciles à lire : 1111111101 est écrit 11 1111 1101. Comme en base dix, ces groupes sont
formés de droite à gauche.
SAVOIR-FAIRE Représenter en base k un entier naturel donné
en base dix
Pour écrire les entiers naturels en base k, on a besoin de k chiffres. Quand on a
n objets, on les groupe par paquets de k, puis on groupe ces paquets en paquets de
k paquets, etc. Autrement dit, on fait une succession de divisions par k, jusqu’à obtenir
un quotient égal à 0.
Plus formellement, si l’on note a i . . . a 1 a 0 l’écriture de n en base k, elle est obtenue
par l’algorithme suivant :
Données : n, k
i ← 0
tant que n ̸ = 0 faire
a i ← reste de la division euclidienne de n par k
n ← quotient de la division euclidienne de n par k
i ← i + 1
Résultat : la représentation a i . . . a 1 a 0 .