Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 34
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
34
Informatique pour tous
2.1 Représentation des entiers naturels
2.1.1 Représentation de l’information par des booléens
La mémoire des ordinateurs est constituée d’une multitude de petits circuits électroniques
qui, chacun, ne peuvent être que dans deux états : sous tension ou hors tension. Techniquement, il serait possible de construire des circuits ayant plus de deux états, correspondant à
différentes valeurs de tensions, mais les risques d’erreurs dans le stockage et la transmission
de ces états deviennent vite beaucoup plus importants que les avantages qu’on pourrait en
tirer. Comme il fallait donner un nom à ces états, on a décidé de les appeler 0 et 1, mais
on aurait pu tout aussi bien les appeler A et B, froid et chaud, faux et vrai, etc. Une telle
valeur, 0 ou 1, est dite booléenne. On l’appellera booléen, chiffre binaire ou encore bit
(binary digit). Un tel circuit à deux états s’appelle un circuit mémoire un bit.
L’état dans lequel se trouve un circuit mémoire un bit est représenté par le symbole 0 ou
par le symbole 1. L’ état d’un circuit composé de plusieurs de ces circuits est représenté par
une suite finie de 0 et de 1, que l’on appelle un mot. Par exemple, le mot 100 décrit l’état
d’un circuit composé de trois circuits mémoire un bit, respectivement dans l’état 1, 0 et 0.
Exercice 2.1 Trouvez trois informations de la vie courante qui peuvent être exprimées par un booléen.
Exercice 2.2 On imagine un ordinateur dont la mémoire est constituée de quatre circuits mémoire un bit.
Quel est le nombre d’états possibles de la mémoire de cet ordinateur ? Même question pour un ordinateur
dont la mémoire est constituée de dix circuits mémoire un bit. Et pour un ordinateur dont la mémoire est
constituée de 32 milliards de tels circuits ?
Exercice 2.3 On veut représenter chacune des sept couleurs de l’arc-en-ciel par un mot, les sept mots
devant être distincts et de même longueur. Quelle est la longueur minimale de ces mots ?
Exercice 2.4 Un horloger excentrique a eu l’idée de fabriquer une montre sur laquelle l’heure est indiquée
par dix diodes électroluminescentes appelées 1 h, 2 h, 4 h, 8 h, 1 min, 2 min, 4 min, 8 min, 16 min et
32 min. Pour connaître l’heure, il suffit d’ajouter la valeur des diodes allumées.
Quelle heure est-il quand sont allumées les diodes 1 h, 2 h, 4 h, 1 min, 2 min, 8 min, 16 min et 32 min ?
Quelles sont les diodes allumées à 5 h 55 ? Est-il possible de représenter toutes les heures ? Toutes les
configurations sont-elles la représentation d’une heure ?
2.1.2 La numération à position et les bases
Depuis le Moyen-Âge, on écrit les nombres entiers naturels en notation décimale à position. Cela signifie que, pour écrire le nombre entier naturel n, on commence par imaginer
n objets, que l’on groupe par paquets de dix, puis on groupe ces paquets de dix objets en
paquets de dix paquets, etc. À la fin, il reste entre zéro et neuf objets isolés, entre zéro et
neuf paquets isolés de dix objets, entre zéro et neuf paquets isolés de cent objets, etc. Et
on représente cet entier naturel en écrivant de droite à gauche, le nombre d’objets isolés, le
nombre de paquets de dix, le nombre de paquets de cent, le nombre de paquets de mille,
etc. Chacun de ces nombres étant compris entre zéro et neuf, seuls dix chiffres sont nécessaires : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Par exemple, l’écriture 2359 exprime un entier naturel
formé de 9 unités, 5 dizaines, 3 centaines et 2 milliers.
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Informatique pour tous
2.1 Représentation des entiers naturels
2.1.1 Représentation de l’information par des booléens
La mémoire des ordinateurs est constituée d’une multitude de petits circuits électroniques
qui, chacun, ne peuvent être que dans deux états : sous tension ou hors tension. Techniquement, il serait possible de construire des circuits ayant plus de deux états, correspondant à
différentes valeurs de tensions, mais les risques d’erreurs dans le stockage et la transmission
de ces états deviennent vite beaucoup plus importants que les avantages qu’on pourrait en
tirer. Comme il fallait donner un nom à ces états, on a décidé de les appeler 0 et 1, mais
on aurait pu tout aussi bien les appeler A et B, froid et chaud, faux et vrai, etc. Une telle
valeur, 0 ou 1, est dite booléenne. On l’appellera booléen, chiffre binaire ou encore bit
(binary digit). Un tel circuit à deux états s’appelle un circuit mémoire un bit.
L’état dans lequel se trouve un circuit mémoire un bit est représenté par le symbole 0 ou
par le symbole 1. L’ état d’un circuit composé de plusieurs de ces circuits est représenté par
une suite finie de 0 et de 1, que l’on appelle un mot. Par exemple, le mot 100 décrit l’état
d’un circuit composé de trois circuits mémoire un bit, respectivement dans l’état 1, 0 et 0.
Exercice 2.1 Trouvez trois informations de la vie courante qui peuvent être exprimées par un booléen.
Exercice 2.2 On imagine un ordinateur dont la mémoire est constituée de quatre circuits mémoire un bit.
Quel est le nombre d’états possibles de la mémoire de cet ordinateur ? Même question pour un ordinateur
dont la mémoire est constituée de dix circuits mémoire un bit. Et pour un ordinateur dont la mémoire est
constituée de 32 milliards de tels circuits ?
Exercice 2.3 On veut représenter chacune des sept couleurs de l’arc-en-ciel par un mot, les sept mots
devant être distincts et de même longueur. Quelle est la longueur minimale de ces mots ?
Exercice 2.4 Un horloger excentrique a eu l’idée de fabriquer une montre sur laquelle l’heure est indiquée
par dix diodes électroluminescentes appelées 1 h, 2 h, 4 h, 8 h, 1 min, 2 min, 4 min, 8 min, 16 min et
32 min. Pour connaître l’heure, il suffit d’ajouter la valeur des diodes allumées.
Quelle heure est-il quand sont allumées les diodes 1 h, 2 h, 4 h, 1 min, 2 min, 8 min, 16 min et 32 min ?
Quelles sont les diodes allumées à 5 h 55 ? Est-il possible de représenter toutes les heures ? Toutes les
configurations sont-elles la représentation d’une heure ?
2.1.2 La numération à position et les bases
Depuis le Moyen-Âge, on écrit les nombres entiers naturels en notation décimale à position. Cela signifie que, pour écrire le nombre entier naturel n, on commence par imaginer
n objets, que l’on groupe par paquets de dix, puis on groupe ces paquets de dix objets en
paquets de dix paquets, etc. À la fin, il reste entre zéro et neuf objets isolés, entre zéro et
neuf paquets isolés de dix objets, entre zéro et neuf paquets isolés de cent objets, etc. Et
on représente cet entier naturel en écrivant de droite à gauche, le nombre d’objets isolés, le
nombre de paquets de dix, le nombre de paquets de cent, le nombre de paquets de mille,
etc. Chacun de ces nombres étant compris entre zéro et neuf, seuls dix chiffres sont nécessaires : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Par exemple, l’écriture 2359 exprime un entier naturel
formé de 9 unités, 5 dizaines, 3 centaines et 2 milliers.