Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 246
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
246
Informatique pour tous
vdp.pdf
Figure 9.23
Oscillateur de van der Pol : il y a un « cycle limite ».
Pour le physicien
Exercice 9.18 Pour un pendule amorti, l’angle entre le pendule et la verticale vérifie une équation de la
forme ¨
θ = −k 1 sin θ − k 2 ˙
θ.
Pour k 1 = k 2 = 1, calculer les trajectoires issues des conditions initiales θ(0) = 0 et ˙
θ(0) ∈ {1, 2, 5, 8}.
Représenter à chaque fois la trajectoire (graphe de θ) et la courbe correspondante dans le portrait de
phase (ensemble décrit par le couple (θ, θ ′ )).
Les trajectoires (figure 9.24) et le portrait de phase (figure 9.25) correspondent à l’intuition physique :
quelle que soit l’impulsion initiale, le pendule se stabilise autour d’un angle de la forme 2kπ.
Exercice 9.19 avec corrigé ** Un glaçon sur un igloo. Un glaçon (supposé ponctuel) est posé en haut
d’un igloo avec une vitesse initiale faible. Il est ensuite soumis à la pesanteur et à la réaction de l’igloo.
Dans un premier temps, on suppose qu’il n’y a pas de frottement ; la réaction de l’igloo est alors normale.
Si on note respectivement O et M le centre de l’igloo et le point où se trouve le glaçon, l’angle entre la
verticale et
− − →
OM vérifie :
m
(
r
..
θ
−r
.
θ
2
)
= mg
(
sin θ
− cos θ
)
+
(
0
N
)
Cette équation est vérifiée tant que N > 0. Quand N s’annule, le glaçon perd le contact avec l’igloo.
On pourra prendre g = 9.8 et m = 1 (un beau glaçon, donc !)
1 Résoudre numériquement cette équation différentielle.
2 Vérifier « expérimentalement » que l’angle de décrochage tend vers arccos
2
3
lorsque la vitesse initiale
tend vers 0.
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Informatique pour tous
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Figure 9.23
Oscillateur de van der Pol : il y a un « cycle limite ».
Pour le physicien
Exercice 9.18 Pour un pendule amorti, l’angle entre le pendule et la verticale vérifie une équation de la
forme ¨
θ = −k 1 sin θ − k 2 ˙
θ.
Pour k 1 = k 2 = 1, calculer les trajectoires issues des conditions initiales θ(0) = 0 et ˙
θ(0) ∈ {1, 2, 5, 8}.
Représenter à chaque fois la trajectoire (graphe de θ) et la courbe correspondante dans le portrait de
phase (ensemble décrit par le couple (θ, θ ′ )).
Les trajectoires (figure 9.24) et le portrait de phase (figure 9.25) correspondent à l’intuition physique :
quelle que soit l’impulsion initiale, le pendule se stabilise autour d’un angle de la forme 2kπ.
Exercice 9.19 avec corrigé ** Un glaçon sur un igloo. Un glaçon (supposé ponctuel) est posé en haut
d’un igloo avec une vitesse initiale faible. Il est ensuite soumis à la pesanteur et à la réaction de l’igloo.
Dans un premier temps, on suppose qu’il n’y a pas de frottement ; la réaction de l’igloo est alors normale.
Si on note respectivement O et M le centre de l’igloo et le point où se trouve le glaçon, l’angle entre la
verticale et
− − →
OM vérifie :
m
(
r
..
θ
−r
.
θ
2
)
= mg
(
sin θ
− cos θ
)
+
(
0
N
)
Cette équation est vérifiée tant que N > 0. Quand N s’annule, le glaçon perd le contact avec l’igloo.
On pourra prendre g = 9.8 et m = 1 (un beau glaçon, donc !)
1 Résoudre numériquement cette équation différentielle.
2 Vérifier « expérimentalement » que l’angle de décrochage tend vers arccos
2
3
lorsque la vitesse initiale
tend vers 0.