Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 245
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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9 – Résolution numérique d’équations différentielles
Exercice 9.16 Les trois systèmes différentiels suivants correspondent à des équations de la forme Y ′ =
F k (Y ), avec F k (0) = 0 et Jac(F k ) 0 =
(
0 −1
1
0
)
: ils se linéarisent tous de la même façon.
{
x ′ = −y − x(x 2 + y 2 )
y ′ =
x − y(x 2 + y 2 )
{
x ′ = −y −
x
10
(x 2 + y 2 )
y ′ =
x +
y
10
(x 2 + y 2 )
{
x ′ = −y +
x
20
(x 2 + y 2 )
y ′ =
x +
y
20
(x 2 + y 2 )
Visualiser les courbes intégrales issues de (1, 0) dans les trois cas et conclure quant au danger des linéarisations à tout va !
Accessoirement, le lecteur pourra résoudre explicitement les équations via un passage en polaire : le
théorème de relèvement autorise à écrire x(t) + iy(t) = ρ(t)e iθ(t) avec ρ et θ de classe C 1 et qui
vérifient des équations différentielles simples.
Les courbes sont présentées figure 9.22.
trois-portraits.pdf
Figure 9.22
Trois comportements différents, malgré des linéarisations identiques
Exercice 9.17 Représenter le portrait de phase de l’équation de van der Pol :
x
′′ = µ(1 − x
2 )x
′ − x.
Pour obtenir la figure 9.23 , on a pris µ = 1.