Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 224
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
224
Informatique pour tous
erreurs-consistance.pdf
Figure 9.4
Erreurs de consistance : h en abscisse et e(h) en ordonnée pour y ′ = y et y(0) = 1 sur [0, 1].
Exercice 9.1 Montrer que pour la méthode d’Euler appliquée à y ′ = y sur [0, 1] avec y(0) = 1 et h =
1
n
,
on a e(h) ∼
e − 1
2n
·
Exercice 9.2 Expliquer le comportement des courbes de la figure 9.4 sachant qu’on a calculé les erreurs
de consistance en sommant effectivement n =
1
h
termes.
9.1.3 Choix du pas
Le choix du pas est une étape obligée lors de la mise en place d’une méthode numérique
de résolution.
• Si on choisit ce pas trop petit, le temps de calcul sera élevé.
• Si au contraire h est trop grand, l’erreur de consistance sera trop importante.
Il s’agit donc, comme toujours en calcul scientifique, de faire un compromis entre le temps
de calcul et la qualité de l’approximation, et ce n’est pas toujours simple.
On s’intéresse maintenant aux temps de calcul nécessaires pour résoudre numériquement
y
′ = y sur [0, 1], avec la condition initiale y(0) = 1, pour différents pas h =
1
n
· On évalue
par ailleurs l’erreur E(h) =
e − y
(h)
n
. Une bonne mesure de l’erreur est :
E(h) = max
0⩽i⩽n
y(t
(h)
i ) − y
(h)
i
,
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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Figure 9.4
Erreurs de consistance : h en abscisse et e(h) en ordonnée pour y ′ = y et y(0) = 1 sur [0, 1].
Exercice 9.1 Montrer que pour la méthode d’Euler appliquée à y ′ = y sur [0, 1] avec y(0) = 1 et h =
1
n
,
on a e(h) ∼
e − 1
2n
·
Exercice 9.2 Expliquer le comportement des courbes de la figure 9.4 sachant qu’on a calculé les erreurs
de consistance en sommant effectivement n =
1
h
termes.
9.1.3 Choix du pas
Le choix du pas est une étape obligée lors de la mise en place d’une méthode numérique
de résolution.
• Si on choisit ce pas trop petit, le temps de calcul sera élevé.
• Si au contraire h est trop grand, l’erreur de consistance sera trop importante.
Il s’agit donc, comme toujours en calcul scientifique, de faire un compromis entre le temps
de calcul et la qualité de l’approximation, et ce n’est pas toujours simple.
On s’intéresse maintenant aux temps de calcul nécessaires pour résoudre numériquement
y
′ = y sur [0, 1], avec la condition initiale y(0) = 1, pour différents pas h =
1
n
· On évalue
par ailleurs l’erreur E(h) =
e − y
(h)
n
. Une bonne mesure de l’erreur est :
E(h) = max
0⩽i⩽n
y(t
(h)
i ) − y
(h)
i
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