Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 223
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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9 – Résolution numérique d’équations différentielles
On va supposer qu’ on approche une solution y sur un intervalle [a, b] avec une méthode à
un pas telle que la méthode d’Euler. À h fixé, on note n(h) le nombre de temps t
(h)
i
en
lesquels y sera approchée (environ
b − a
h
). On aimerait avoir : y(t
(h)
i ) ≃ y
(h)
i , avec y
(h)
i
la valeur obtenue dans le schéma de pas h.
Le premier objectif est d’avoir une méthode convergente au sens suivant :
max
0⩽i⩽n(h)
y
(
t
(h)
i
)
− y
(h)
i
−→
(y0,h)→(y(a),0)
0.
On aura noté que la valeur de départ est supposée tendre vers y(a) ; c’est important, car
même si en théorie on pose y
(h)
0
= y(a), on peut s’attendre à avoir en pratique une valeur
numérique seulement très proche.
La convergence sera assurée pour peu que le schéma soit :
• stable : en perturbant un peu le schéma, la perturbation résultante est contrôlée linéairement par la perturbation initiale ² ;
• consistant : l’erreur de consistance, définie dans le cas de la méthode d’Euler par :
e(h) =
n(h)−1
∑
i=0
|y(t i+1 ) − (y(t i ) + hF (t i , y(t i )))|
tend vers 0 lorsque h tend vers 0. Cela signifie que si à chaque étape on remplace y i
par y(t i ) et si on somme les erreurs provoquées par les approximations locales, alors
l’erreur globale produite reste contrôlée par h.
On dit qu’une méthode est d’ordre p lorsque l’erreur de consistance possède un majorant
de la forme K.h
p . Plus précisément, l’ordre d’une méthode sera le maximum des entiers p
pour lesquels on a une majoration de cette forme.
On pourra retenir pour la suite que :
• La méthode d’Euler est d’ordre 1. On parle ici de la méthode d’Euler explicite et non de
sa variante, la méthode d’Euler implicite.
• La méthode de Heun est d’ordre 2 (voir plus loin l’exercice 9.7).
• La méthode dite de Runge-Kutta (ou « Runge-Kutta d’ordre 4 », voir plus loin l’exercice
9.8) est d’ordre... devinez !
Concrètement, on peut visualiser ces ordres en représentant les erreurs de consistance e(h)
en fonction de h avec une échelle doublement logarithmique (voir la figure 9.4).
2. Pour plus de précisions, consulter tout cours d’analyse numérique.
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9 – Résolution numérique d’équations différentielles
On va supposer qu’ on approche une solution y sur un intervalle [a, b] avec une méthode à
un pas telle que la méthode d’Euler. À h fixé, on note n(h) le nombre de temps t
(h)
i
en
lesquels y sera approchée (environ
b − a
h
). On aimerait avoir : y(t
(h)
i ) ≃ y
(h)
i , avec y
(h)
i
la valeur obtenue dans le schéma de pas h.
Le premier objectif est d’avoir une méthode convergente au sens suivant :
max
0⩽i⩽n(h)
y
(
t
(h)
i
)
− y
(h)
i
−→
(y0,h)→(y(a),0)
0.
On aura noté que la valeur de départ est supposée tendre vers y(a) ; c’est important, car
même si en théorie on pose y
(h)
0
= y(a), on peut s’attendre à avoir en pratique une valeur
numérique seulement très proche.
La convergence sera assurée pour peu que le schéma soit :
• stable : en perturbant un peu le schéma, la perturbation résultante est contrôlée linéairement par la perturbation initiale ² ;
• consistant : l’erreur de consistance, définie dans le cas de la méthode d’Euler par :
e(h) =
n(h)−1
∑
i=0
|y(t i+1 ) − (y(t i ) + hF (t i , y(t i )))|
tend vers 0 lorsque h tend vers 0. Cela signifie que si à chaque étape on remplace y i
par y(t i ) et si on somme les erreurs provoquées par les approximations locales, alors
l’erreur globale produite reste contrôlée par h.
On dit qu’une méthode est d’ordre p lorsque l’erreur de consistance possède un majorant
de la forme K.h
p . Plus précisément, l’ordre d’une méthode sera le maximum des entiers p
pour lesquels on a une majoration de cette forme.
On pourra retenir pour la suite que :
• La méthode d’Euler est d’ordre 1. On parle ici de la méthode d’Euler explicite et non de
sa variante, la méthode d’Euler implicite.
• La méthode de Heun est d’ordre 2 (voir plus loin l’exercice 9.7).
• La méthode dite de Runge-Kutta (ou « Runge-Kutta d’ordre 4 », voir plus loin l’exercice
9.8) est d’ordre... devinez !
Concrètement, on peut visualiser ces ordres en représentant les erreurs de consistance e(h)
en fonction de h avec une échelle doublement logarithmique (voir la figure 9.4).
2. Pour plus de précisions, consulter tout cours d’analyse numérique.