Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 225
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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9 – Résolution numérique d’équations différentielles
mais ici ce maximum est pris en t n = 1, donc il suffit d’évaluer
y(1) − y
(h)
n
.
Les temps sont exprimés en secondes et on donne deux chiffres significatifs :
n
10 3
10 4
10 5
10 6
10 7
Temps
6.7 × 10 −4
6.9 × 10 −3
6.8 × 10 −2
6.7 × 10 −1
6.7
Erreur
1.36 × 10 −3
1.36 × 10 −4
1.36 × 10 −5
1.36 × 10 −6
1.36 × 10 −7
Les résultats sont sans surprise : d’une part, le temps est proportionnel au nombre de
termes calculés et, d’autre part, on a ici y
(h)
i
= (1 + 1/n)
i , donc :
E(1/n) = e − (1 + 1/n)
n
∼
e
2n
·
On aura noté que cette erreur est supérieure à celle de consistance, ce qui est bien normal.
Avec la méthode d’Euler, on ne peut obtenir une précision de l’ordre de 10
−6 qu’avec un
temps de calcul assez important. Pour ce type de précision (et mieux encore), on préfère
donc les méthodes d’ordre 2 ou plus. On obtient par exemple avec la méthode de Heun
les résultats suivants, déjà nettement meilleurs :
n
10 3
10 4
10 5
10 6
Temps 1.4 × 10 −3
1.3 × 10 −2
1.3 × 10 −1
1.4
Erreur
4.5 × 10 −7
4.5 × 10 −9
4.5 × 10 −11
4.1 × 10 −13
Enfin, avec la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4, il n’est pas utile de prendre h très petit
pour avoir une erreur spectaculairement faible avec un temps de calcul très court :
n
10 2
10 3
10 4
Temps 5.9 × 10 −5
3.9 × 10 −4
3.4 × 10 −3
Erreur
2.1 × 10 −6
2.2 × 10 −10
2.0 × 10 −14
SAVOIR-FAIRE Choisir le pas d’une méthode
Il faut connaître l’ordre de la méthode utilisée, la précision souhaitée et le temps de calcul
jugé acceptable. Si on ne trouve pas de compromis avec ces données, on prend une
méthode d’ordre supérieur.