Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 176
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
176
Informatique pour tous
équations de bas en haut, en substituant aux inconnues les valeurs trouvées dans les lignes
inférieures.
ATTENTION Systèmes paramétrés
On peut être confronté à des systèmes faisant intervenir des paramètres : si on rencontre
l’équation 0 = β où β est un paramètre (ou une combinaison de paramètres), il faut alors
commencer une discussion, qui aboutit en général à différentes conclusions. Ne serait-ce
que pour une équation aussi simple que ax = b, l’inconnue étant x, on peut être amené
à discuter sur a = 0. Dans le cadre d’une résolution numérique de système linéaire, on ne
rencontrera pas cette situation.
7.1.2 Les transvections
Pour mettre un système sous forme triangulaire, on va réaliser des transvections, c’est-à-dire
des opérations élémentaires de la forme suivante : « ajouter tant de fois telle équation à telle
autre », afin d’éliminer ² des inconnues dans des équations... mais pas dans le désordre !
On va décrire ces opérations pour un système (3, 3) d’inconnues (x, y, z) dans une situation favorable, en notant L 1 , L 2 et L 3 les trois équations en jeu.
On suppose que le coefficient en x de la première équation, appelé a, est non nul. On va
s’en servir comme pivot pour éliminer les autres occurrences de x. Si on note b et c les
coefficients en x des deuxième et troisième lignes, le système constitué des équations L 1 ,
L
′
2 = L 2 −
b
a
L 1 et L
′
3 = L 3 −
c
a
L 1 est alors équivalent au premier (le démontrer
n’ est pas inutile) et ne fait apparaître x que dans la première équation. En supposant que
le coefficient en y de la nouvelle deuxième ligne L
′
2 , appelé d, est non nul (c’est alors le
nouveau pivot) et en notant e celui de y dans la nouvelle troisième ligne L
′
3 , le système
constitué des lignes L 1 , L
′
2 et L
′
3 −
e
d
L
′
2 est équivalent au premier système et triangulaire :
on est ramené à un cas qu’on sait traiter.
Lors de la première étape, on ne touche pas à la première ligne. De même, à la deuxième
étape, on ne touche ni à la première ni à la deuxième ligne, et ainsi de suite.
Dans l’exemple qui suit, on adopte une notation classique : pour dire qu’on change la
seconde ligne L 2 en L
′
2 = L 2 + αL 1 , on préférera noter L 2 ← L 2 + αL 1 . Cela signifie
qu’on appelle désormais L 2 ce que désignait auparavant L 2 + αL 1 . Après cinq opérations
de ce type, on parlera donc toujours de L 8 plutôt que de L
′′′′′
8 .
2. Les anglo-saxons parlent de Gaussian Elimination.
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Informatique pour tous
équations de bas en haut, en substituant aux inconnues les valeurs trouvées dans les lignes
inférieures.
ATTENTION Systèmes paramétrés
On peut être confronté à des systèmes faisant intervenir des paramètres : si on rencontre
l’équation 0 = β où β est un paramètre (ou une combinaison de paramètres), il faut alors
commencer une discussion, qui aboutit en général à différentes conclusions. Ne serait-ce
que pour une équation aussi simple que ax = b, l’inconnue étant x, on peut être amené
à discuter sur a = 0. Dans le cadre d’une résolution numérique de système linéaire, on ne
rencontrera pas cette situation.
7.1.2 Les transvections
Pour mettre un système sous forme triangulaire, on va réaliser des transvections, c’est-à-dire
des opérations élémentaires de la forme suivante : « ajouter tant de fois telle équation à telle
autre », afin d’éliminer ² des inconnues dans des équations... mais pas dans le désordre !
On va décrire ces opérations pour un système (3, 3) d’inconnues (x, y, z) dans une situation favorable, en notant L 1 , L 2 et L 3 les trois équations en jeu.
On suppose que le coefficient en x de la première équation, appelé a, est non nul. On va
s’en servir comme pivot pour éliminer les autres occurrences de x. Si on note b et c les
coefficients en x des deuxième et troisième lignes, le système constitué des équations L 1 ,
L
′
2 = L 2 −
b
a
L 1 et L
′
3 = L 3 −
c
a
L 1 est alors équivalent au premier (le démontrer
n’ est pas inutile) et ne fait apparaître x que dans la première équation. En supposant que
le coefficient en y de la nouvelle deuxième ligne L
′
2 , appelé d, est non nul (c’est alors le
nouveau pivot) et en notant e celui de y dans la nouvelle troisième ligne L
′
3 , le système
constitué des lignes L 1 , L
′
2 et L
′
3 −
e
d
L
′
2 est équivalent au premier système et triangulaire :
on est ramené à un cas qu’on sait traiter.
Lors de la première étape, on ne touche pas à la première ligne. De même, à la deuxième
étape, on ne touche ni à la première ni à la deuxième ligne, et ainsi de suite.
Dans l’exemple qui suit, on adopte une notation classique : pour dire qu’on change la
seconde ligne L 2 en L
′
2 = L 2 + αL 1 , on préférera noter L 2 ← L 2 + αL 1 . Cela signifie
qu’on appelle désormais L 2 ce que désignait auparavant L 2 + αL 1 . Après cinq opérations
de ce type, on parlera donc toujours de L 8 plutôt que de L
′′′′′
8 .
2. Les anglo-saxons parlent de Gaussian Elimination.