Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 175
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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7 – Pivot de Gauss et résolution de systèmes
7.1 Résolution de AX = Y : principe du pivot
L’algorithme du pivot de Gauss sait résoudre des systèmes généraux à n équations et p inconnues. Pour simplifier, on se placera pour l’essentiel de l’exposé dans le cas où n = p,
avec l’hypothèse supplémentaire de l’existence d’une et une seule solution. On parle de
système de Cramer. Dans les exercices, on s’autorisera à sortir un peu de ce cadre.
Exercice 7.1 Proposer un système à deux équations et deux inconnues ne possédant aucune solution,
puis un autre possédant une infinité de solutions.
7.1.1 Le cas des systèmes triangulaires
Les systèmes triangulaires sont très simples à résoudre.
Exemple 1.
2x + 2y − 3z = 2
y − 6z = −3
z = 4
⇐⇒
2x + 2y − 3z = 2
y = 6z − 3 = 21
z = 4
⇐⇒
x =
1
2
( −2y + 3z + 2
)
= −14
y = 21
z = 4
Dès maintenant, le lecteur doit bien comprendre le rôle de l’équivalence, qui assure que le
système initial possède une unique solution. Les exercices 7.2 et 7.3 précisent la pertinence
puis la validité de ces équivalences.
Exercice 7.2 Dans les équivalences précédentes, quelles sont les implications qui assurent l’existence
d’une solution ? Lesquelles donnent l’unicité ?
Exercice 7.3 Expliquer pourquoi, lors des substitutions, on a bien gardé des systèmes équivalents entre
eux.
La résolution d’un système linéaire passera systématiquement par une première étape pour
le mettre sous forme triangulaire en gardant l’équivalence avec le système initial. Si une
équation « disparaît » ou bien fournit une contradiction, alors on peut en conclure que :
• Si l’équation 0 = 0 apparaît, on peut l’éliminer du système en gardant l’équivalence.
• Si l’équation 0 = β apparaît (avec β ̸ = 0), le système initial n’admet pas de solution
(sens ⇒ de l’équivalence).
Pour un système de Cramer, ces situations ne se présenteront pas.
La résolution d’un système triangulaire sera la dernière étape (la plus simple et rapide) de
la résolution d’un système linéaire. On l’appelle souvent phase de remontée : on résout les
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7 – Pivot de Gauss et résolution de systèmes
7.1 Résolution de AX = Y : principe du pivot
L’algorithme du pivot de Gauss sait résoudre des systèmes généraux à n équations et p inconnues. Pour simplifier, on se placera pour l’essentiel de l’exposé dans le cas où n = p,
avec l’hypothèse supplémentaire de l’existence d’une et une seule solution. On parle de
système de Cramer. Dans les exercices, on s’autorisera à sortir un peu de ce cadre.
Exercice 7.1 Proposer un système à deux équations et deux inconnues ne possédant aucune solution,
puis un autre possédant une infinité de solutions.
7.1.1 Le cas des systèmes triangulaires
Les systèmes triangulaires sont très simples à résoudre.
Exemple 1.
2x + 2y − 3z = 2
y − 6z = −3
z = 4
⇐⇒
2x + 2y − 3z = 2
y = 6z − 3 = 21
z = 4
⇐⇒
x =
1
2
( −2y + 3z + 2
)
= −14
y = 21
z = 4
Dès maintenant, le lecteur doit bien comprendre le rôle de l’équivalence, qui assure que le
système initial possède une unique solution. Les exercices 7.2 et 7.3 précisent la pertinence
puis la validité de ces équivalences.
Exercice 7.2 Dans les équivalences précédentes, quelles sont les implications qui assurent l’existence
d’une solution ? Lesquelles donnent l’unicité ?
Exercice 7.3 Expliquer pourquoi, lors des substitutions, on a bien gardé des systèmes équivalents entre
eux.
La résolution d’un système linéaire passera systématiquement par une première étape pour
le mettre sous forme triangulaire en gardant l’équivalence avec le système initial. Si une
équation « disparaît » ou bien fournit une contradiction, alors on peut en conclure que :
• Si l’équation 0 = 0 apparaît, on peut l’éliminer du système en gardant l’équivalence.
• Si l’équation 0 = β apparaît (avec β ̸ = 0), le système initial n’admet pas de solution
(sens ⇒ de l’équivalence).
Pour un système de Cramer, ces situations ne se présenteront pas.
La résolution d’un système triangulaire sera la dernière étape (la plus simple et rapide) de
la résolution d’un système linéaire. On l’appelle souvent phase de remontée : on résout les