Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 177
¨
©
¨
©
¨
©
¨
©
C o p y r i g h t E y r o l l e s
177
7 – Pivot de Gauss et résolution de systèmes
Exemple 2.
2x + 2y − 3z = 2
−2x − y − 3z = −5
6x + 4y + 4z = 16
L2←L2+L1
⇐⇒
L3←L3−3L1
2x + 2y − 3z = 2
1y − 6z = −3
− 2y + 13z = 10
L3←L3+2L2
⇐⇒
2x + 2y − 3z = 2
y − 6z = −3
z = 4
⇐⇒
...
Dans les cas moins favorables, on peut rencontrer en cours de résolution d’un système
(3, 3) ces trois problèmes :
• Le pivot n’est pas là où on veut : si, à la première étape, le coefficient en x de la première
ligne est nul, on peut échanger la première équation avec la deuxième ou la troisième. De
même, si à la seconde étape, le coefficient en y (futur pivot) est nul, on peut échanger la
deuxième équation avec la troisième, mais pas la première (se souvenir qu’on veut arriver
à un système triangulaire : il ne faut pas faire réapparaître x dans les deux dernières
équations).
• Il n’y a plus de pivot en une variable : si tous les coefficients en x sont nuls (c’est rare :
cela revient à dire que x n’apparaît pas dans le système...), on peut prendre y ou z comme
première variable. De même, si après la première étape, y n’apparaît ni dans la deuxième
ni dans la troisième équation, on peut prendre z comme deuxième inconnue.
• Il n’y a plus de pivot : cela signifie que les membres de gauche des équations restantes
sont nuls. Selon que les membres de droite correspondants sont nuls ou pas, ces équations vont disparaître ou bien rendre le système incompatible.
Les deux dernières situations ne se produiront pas sur un système de Cramer.
7.1.3 Le problème de la comparaison à zéro
Lorsqu’on travaille avec des systèmes à coefficients rationnels et que les calculs se font
avec des objets représentant effectivement des fractions (un couple d’entiers, ce qui ne
pose pas de problème en Python), on manipule en permanence des objets informatiques
représentant de façon exacte les objets mathématiques associés. C’est également le cas
dans d’autres cadres tels que les corps finis : les objets manipulés sont plus élaborés que
de simples entiers ou couples d’entiers, mais il n’y a pas de perte d’information dans leur
représentation informatique, puis leur manipulation.
¨
©
¨
©
¨
©
¨
©
C o p y r i g h t E y r o l l e s
177
7 – Pivot de Gauss et résolution de systèmes
Exemple 2.
2x + 2y − 3z = 2
−2x − y − 3z = −5
6x + 4y + 4z = 16
L2←L2+L1
⇐⇒
L3←L3−3L1
2x + 2y − 3z = 2
1y − 6z = −3
− 2y + 13z = 10
L3←L3+2L2
⇐⇒
2x + 2y − 3z = 2
y − 6z = −3
z = 4
⇐⇒
...
Dans les cas moins favorables, on peut rencontrer en cours de résolution d’un système
(3, 3) ces trois problèmes :
• Le pivot n’est pas là où on veut : si, à la première étape, le coefficient en x de la première
ligne est nul, on peut échanger la première équation avec la deuxième ou la troisième. De
même, si à la seconde étape, le coefficient en y (futur pivot) est nul, on peut échanger la
deuxième équation avec la troisième, mais pas la première (se souvenir qu’on veut arriver
à un système triangulaire : il ne faut pas faire réapparaître x dans les deux dernières
équations).
• Il n’y a plus de pivot en une variable : si tous les coefficients en x sont nuls (c’est rare :
cela revient à dire que x n’apparaît pas dans le système...), on peut prendre y ou z comme
première variable. De même, si après la première étape, y n’apparaît ni dans la deuxième
ni dans la troisième équation, on peut prendre z comme deuxième inconnue.
• Il n’y a plus de pivot : cela signifie que les membres de gauche des équations restantes
sont nuls. Selon que les membres de droite correspondants sont nuls ou pas, ces équations vont disparaître ou bien rendre le système incompatible.
Les deux dernières situations ne se produiront pas sur un système de Cramer.
7.1.3 Le problème de la comparaison à zéro
Lorsqu’on travaille avec des systèmes à coefficients rationnels et que les calculs se font
avec des objets représentant effectivement des fractions (un couple d’entiers, ce qui ne
pose pas de problème en Python), on manipule en permanence des objets informatiques
représentant de façon exacte les objets mathématiques associés. C’est également le cas
dans d’autres cadres tels que les corps finis : les objets manipulés sont plus élaborés que
de simples entiers ou couples d’entiers, mais il n’y a pas de perte d’information dans leur
représentation informatique, puis leur manipulation.