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5 • Systèmes hyperstatiques
b) Equilibre des nœuds
Considérons maintenant chaque nœud de la structure. Ceux-ci sont sollicités
par les barres (action de la barre sur le nœud) + le chargement extérieur
appliqué aux nœuds.
Nœud 4 : figure 5.16
4
−M 43
−N 43
−V 43
−M 46
−N 46
−V 46
Figure 5.16 Équilibre du nœud 4
On obtient trois équations dans le repère global :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−
− →
N 43 −
− →
V 43 −
− →
N 46 −
−
→
V 46 +
− →
F 1 =
− →
0
: 2 équations dans le repère
glogal
−
− →
M 43 −
− →
M 46 =
− →
0 : 1 équation dans le repère glogal
Les liaisons sont parfaites (nœuds rigides). Dans le repère global les
déplacements (u, v, V) sont identiques pour toutes les barres attachées au
nœud considéré (dans le cas d’un encastrement). On peut alors utiliser les
relations entre les déplacements globaux et les actions extérieures obtenues
pour la barre. On substitue les efforts dans les relations d’équilibre aux
nœuds, pour obtenir un système d’équations.
Pour n nœuds on obtient le système :
K
matrice 3n×3n
{ − → u }
vecteur 3n
=
{
− →
F }
vecteur 3n du chargement ext.
(sur les barres et les nœuds)
Dans le cas le plus général, on obtient donc un système de 3n équations
à 3n inconnues.