5.1 Généralités
81
La superposition de l’effet d’un chargement extérieur et des chargements
aux extrémités de la poutre correspondant aux déplacements inconnus permet d’écrire :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
N i j
V i j
M i j
N ji
V ji
M ji
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
E A/l
0
0
−E A/l
0
0
0
12E I /l
3
6E I /l
2
0
−12E I /l
3 6E I /l
2
0
6E I /l
2
4E I /l
0
−6E I /l
2
2E I /l
−E A/l
0
0
E A/l
0
0
0
−12E I /l
3 −6E I /l
2
0
12E I /l
3 −6E I /l
2
0
6E I /l
2
2E I /l
0
−6E I /l
2
4E I /l
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u i j
v i j
V i j
u ji
v ji
V ji
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
+
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
N
0
i j
V
0
i j
M
0
i j
N
0
ji
V
0
ji
M
0
ji
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
Ce qui donne sous forme condensée :
− →
F
Action ext. aux nœuds
= K
− → u
Déplac
ts aux nœuds
+
− →
F
0
Effet d’un charg
t ext.
sur la poutre
La matrice de rigidité K est symétrique. Elle est indépendante du chargement.
Remarque : Les diagrammes des contraintes généralisées dans la
poutre s’obtient par superposition. En l’absence de chargement
extérieur :
M(x) = −M i j + V i j x
V (x) = −V i j
Il suffit d’ajouter (par superposition) les diagrammes dus au chargement extérieur appliqué sur la poutre bi-encastrée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit