78
5 • Systèmes hyperstatiques
5
8
X
Y
M 58
V 58
M 85
V 85
Figure 5.11 Déformée de la poutre [5–8] avec v 58 = v 85 = 0
avec le PFS :
V 58 + V 85 = 0
M 58 + M 85 − lV 58 = 0
Utilisons le théorème de Castigliano avec pour énergie élastique :
1
2
M
2
E I
dx =
1
2
l
0
(−M 58 + V 58 x)
2
E I
dx
On obtient alors les rotations aux appuis V 58 et V 85 en dérivant cette expression par rapport à M 58 et M 85 respectivement :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
V 58 =
d´
dM 58
= M 58
l
0
1
E I
1 −
x
l
2
dx + M 85
l
0
1
E I
x
l
1 −
x
l
dx
V 85 =
d´
dM 85
= M 58
l
0
1
E I
x
l
1 −
x
l
dx + M 85
l
0
x
2
l 2
1
E I
dx
ce qui donne après inversion (et en considérant E I constant) :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
M 58 =
4E I
l
V 58 +
2E I
l
V 85
M 85 =
4E I
l
V 85 +
2E I
l
V 58