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5 • Systèmes hyperstatiques
où les termes de la matrice de souplesse [d] et du vecteur d 0 sont donnés
par :
d 0i =
(S)
M 0 M i
E I
dx , d i j =
(S)
M i M j
E I
dx
(5.9)
La matrice de souplesse est symétrique, définie positive et donc inversible.
Ce qui signifie que le système (5.8) admet toujours une solution unique.
Les termes de l’équation (5.9) peuvent être interprétés comme les ouvertures des coupures pour les différents systèmes de chargement. Le théorème
de Menabrea montre que la somme de ces ouvertures est nulle : les inconnues hyperstatiques sont donc telles qu’appliquées à la structure (SI), elles
referment les coupures (et redonnent donc la structure (S) initiale).
➤ Calcul d’un déplacement sur une structure hyperstatique
Le déplacement d’un point P de la structure peut se mettre sous la forme :
Q P =
(S)
M ¯
M
E I
dx
(5.10)
où M et ¯
M désignent respectivement les moments fléchissants calculés sur
(S), associés au chargement extérieur F et au chargement unitaire 1 P . La
méthode des coupures permet de mettre ¯
M sous la forme ¯
M = ¯
M 0 +
n
i =1
¯
X i M i . On démontre ainsi le théorème de réduction (ou de Pasternak) :
pour calculer un déplacement Q P au point P, associé à un chargement extérieur F sur une structure hyperstatique , il suffit d’appliquer le théorème de
Müller-Breslau en appliquant l’effort unitaire 1 P à une structure isostatique
associée quelconque.
Q P =
(S)
M ¯
M 0
E I
dx avec ¯
M 0 calculé pour une structure (SI) quelconque.
(5.11)
Remarque : La démarche a été illustrée en ne tenant compte que
de l’énergie de flexion. Un calcul complet nécessite de prendre en