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5 • Systèmes hyperstatiques
b) Méthode des coupures
➤ Choix d’une structure isostatique associée
Soit (S) une structure n fois hyperstatique soumise à un chargement extérieur (forces ponctuelles, densités linéiques, etc.). On lui associe une structure isostatique (SI) en effectuant n coupures. Une coupure est obtenue :
– soit en libérant une liaison d’appui. Sur la poutre précédente (h=1), on
peut par exemple supprimer l’appui à l’extrémité de droite ou encore
introduire une rotule sur l’extrémité de gauche.
– soit en annulant une composante d’effort intérieur dans une section
donnée : toujours sur le même exemple, on peut introduire une rotule
pour annuler M sur n’importe quelle section x ∈]0, 2l[.
On voit qu’il n’y a pas unicité de la structure isostatique associée.
➤ Caractérisation de SA
Pour obtenir une solution particulière M 0 des équations d’équilibre sur (S),
il suffit de déterminer les efforts intérieurs sur (SI) dus au chargement extérieur .
Pour obtenir une base de l’espace des efforts auto-équilibrés, il suffit de
déterminer les efforts intérieurs M i sur (SI) dus à l’application de forces
unitaires 1 i auto-équilibrées aux lèvres de la coupure. Les différents cas de
charge à considérer en fonction de la coupure choisie sur la poutre h = 1
sont donnés figure 5.4.
c) Méthode des forces
➤ Détermination des inconnues hyperstatiques - Théorème
de Menabrea
L’énergie complémentaire associée à un élement de SA s’écrit :
E
∗ (x 1 , . . . x n ) =
(S)
M 0 +
n
i =1 x i M i
2
2E I
dx
(5.5)
5 • Systèmes hyperstatiques
b) Méthode des coupures
➤ Choix d’une structure isostatique associée
Soit (S) une structure n fois hyperstatique soumise à un chargement extérieur (forces ponctuelles, densités linéiques, etc.). On lui associe une structure isostatique (SI) en effectuant n coupures. Une coupure est obtenue :
– soit en libérant une liaison d’appui. Sur la poutre précédente (h=1), on
peut par exemple supprimer l’appui à l’extrémité de droite ou encore
introduire une rotule sur l’extrémité de gauche.
– soit en annulant une composante d’effort intérieur dans une section
donnée : toujours sur le même exemple, on peut introduire une rotule
pour annuler M sur n’importe quelle section x ∈]0, 2l[.
On voit qu’il n’y a pas unicité de la structure isostatique associée.
➤ Caractérisation de SA
Pour obtenir une solution particulière M 0 des équations d’équilibre sur (S),
il suffit de déterminer les efforts intérieurs sur (SI) dus au chargement extérieur .
Pour obtenir une base de l’espace des efforts auto-équilibrés, il suffit de
déterminer les efforts intérieurs M i sur (SI) dus à l’application de forces
unitaires 1 i auto-équilibrées aux lèvres de la coupure. Les différents cas de
charge à considérer en fonction de la coupure choisie sur la poutre h = 1
sont donnés figure 5.4.
c) Méthode des forces
➤ Détermination des inconnues hyperstatiques - Théorème
de Menabrea
L’énergie complémentaire associée à un élement de SA s’écrit :
E
∗ (x 1 , . . . x n ) =
(S)
M 0 +
n
i =1 x i M i
2
2E I
dx
(5.5)