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5 • Systèmes hyperstatiques
5.1.2 Méthode des forces
1
a) Choix d’une structure isostatique associée
Une structure est isostatique si les seules équations d’équilibre permettent
de déterminer de façon unique les efforts intérieurs. Lorsque la structure
présente des liaisons internes ou des appuis supplémentaires, la solution des
équations d’équilibre est un espace affine, l’espace des efforts statiquement
admissible SA. La dimension de cet espace est le degré d’hyperstaticité de
la structure, c’est-à-dire le nombre de liaisons “en trop”. Un élément de cet
espace s’écrira :
M = M 0 +
n
i =1
x i M i
(5.1)
où M 0 est une solution particulière des équations d’équilibre et {M i , i =
1, . . . n} est une base de l’espace vectoriel des efforts intérieurs autoéquilibrés (on ne considère que les efforts de flexion pour simplifier la
présentation).
Comme en mécanique des milieux continus, la résolution du problème
nécessite dans ce cas l’introduction d’équations supplémentaires : le comportement. En élasticité on montre, comme dans le cas continu, que la solution du système minimise l’énergie complémentaire sur l’espace (principe
des travaux virtuels). La méthode des forces consiste donc à :
– paramétrer l’espace SA : on utilise pour cela la méthode des coupures,
– écrire la minimisation de l’énergie complémentaire : on aboutit à un
système linéaire faisant apparaître la matrice de souplesse.
– résoudre le système et reconstruire la solution à partir du paramétrage
de SA.
Exemple. Soit une poutre (AB) de longueur 2l encastrée à gauche, simplement appuyée à droite, soumise en son centre à une charge verticale F dirigée vers le bas. On utilisera la réaction verticale V B = X comme paramètre.
1. avec l’aimable contribution de notre collègue Bruno Sudret (EDF)
5 • Systèmes hyperstatiques
5.1.2 Méthode des forces
1
a) Choix d’une structure isostatique associée
Une structure est isostatique si les seules équations d’équilibre permettent
de déterminer de façon unique les efforts intérieurs. Lorsque la structure
présente des liaisons internes ou des appuis supplémentaires, la solution des
équations d’équilibre est un espace affine, l’espace des efforts statiquement
admissible SA. La dimension de cet espace est le degré d’hyperstaticité de
la structure, c’est-à-dire le nombre de liaisons “en trop”. Un élément de cet
espace s’écrira :
M = M 0 +
n
i =1
x i M i
(5.1)
où M 0 est une solution particulière des équations d’équilibre et {M i , i =
1, . . . n} est une base de l’espace vectoriel des efforts intérieurs autoéquilibrés (on ne considère que les efforts de flexion pour simplifier la
présentation).
Comme en mécanique des milieux continus, la résolution du problème
nécessite dans ce cas l’introduction d’équations supplémentaires : le comportement. En élasticité on montre, comme dans le cas continu, que la solution du système minimise l’énergie complémentaire sur l’espace (principe
des travaux virtuels). La méthode des forces consiste donc à :
– paramétrer l’espace SA : on utilise pour cela la méthode des coupures,
– écrire la minimisation de l’énergie complémentaire : on aboutit à un
système linéaire faisant apparaître la matrice de souplesse.
– résoudre le système et reconstruire la solution à partir du paramétrage
de SA.
Exemple. Soit une poutre (AB) de longueur 2l encastrée à gauche, simplement appuyée à droite, soumise en son centre à une charge verticale F dirigée vers le bas. On utilisera la réaction verticale V B = X comme paramètre.
1. avec l’aimable contribution de notre collègue Bruno Sudret (EDF)