3.3 Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti
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3.3 THÉORÈME DE RÉCIPROCITÉ
DE MAXWELL-BETTI
Ce théorème se déduit de l’égalité de Clapeyron en considérant deux systèmes de chargement appliqués à la même structure.
Le travail produit par un système de chargement S 1 sur une structure dans
le champ de déplacement dû à un système de chargement S 2 est égal au
travail du système de chargement S 2 dans le champ de déplacement dû à S 1 .
Cette égalité est donnée en produit scalaire. On ne pourra donc connaître
que la composante du déplacement suivant la direction d’application de la
force.
Le déplacement (ou la rotation) produit en i par une force (ou couple)
unitaire agissant en j est égal au déplacement (ou la rotation) produit en j
par la force (ou couple) unitaire agissant en i.
3.4 THÉORÈME DE CASTIGLIANO
Le théorème de Castigliano établit une relation entre les déplacements et
le potentiel interne. Pour l’établir, on part de l’égalité de Clapeyron et on
calcule plus explicitement le travail des forces extérieures.
La dérivée partielle du potentiel interne par rapport à une action quelconque est égale au déplacement du point d’application de cette action
mesurée algébriquement sur la ligne d’action de celui-ci.
Pour une force ponctuelle F k , le déplacement d k est ainsi :
∂W
∂ F k
= d k
(3.7)
Pour un moment ponctuel M k , la rotation v k est ainsi :
∂W
∂ M k
= v k
(3.8)
En conséquence, si l’on souhaite calculer le déplacement d (ou rotation
v) d’une section S d’une poutre dans une direction donnée, on applique
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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3.3 THÉORÈME DE RÉCIPROCITÉ
DE MAXWELL-BETTI
Ce théorème se déduit de l’égalité de Clapeyron en considérant deux systèmes de chargement appliqués à la même structure.
Le travail produit par un système de chargement S 1 sur une structure dans
le champ de déplacement dû à un système de chargement S 2 est égal au
travail du système de chargement S 2 dans le champ de déplacement dû à S 1 .
Cette égalité est donnée en produit scalaire. On ne pourra donc connaître
que la composante du déplacement suivant la direction d’application de la
force.
Le déplacement (ou la rotation) produit en i par une force (ou couple)
unitaire agissant en j est égal au déplacement (ou la rotation) produit en j
par la force (ou couple) unitaire agissant en i.
3.4 THÉORÈME DE CASTIGLIANO
Le théorème de Castigliano établit une relation entre les déplacements et
le potentiel interne. Pour l’établir, on part de l’égalité de Clapeyron et on
calcule plus explicitement le travail des forces extérieures.
La dérivée partielle du potentiel interne par rapport à une action quelconque est égale au déplacement du point d’application de cette action
mesurée algébriquement sur la ligne d’action de celui-ci.
Pour une force ponctuelle F k , le déplacement d k est ainsi :
∂W
∂ F k
= d k
(3.7)
Pour un moment ponctuel M k , la rotation v k est ainsi :
∂W
∂ M k
= v k
(3.8)
En conséquence, si l’on souhaite calculer le déplacement d (ou rotation
v) d’une section S d’une poutre dans une direction donnée, on applique
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit