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10 • Dynamique et vibrations
10.3.2 Vibration transversale des poutres
Soit une poutre isostatique d’axe x, de longueur L, de moment quadratique
constant I , de densité linéique r, composée d’un matériau élastique linéaire
de module young E. Les pulsations propres de flexion lorsque la poutre
repose sur deux appuis simples sont :
v n =
p
2 n
2
L 2
E I
r
Les n modes propres associés sont :
f n (x) =
2
rL
sin
npx
L
10.3.3 Détermination du mode fondamental de vibration :
méthode de Rayleigh
Le but de la méthode de Rayleigh, par application du principe de conservation de l’énergie, consiste à déterminer le mode fondamental de vibration
d’une structure. Il faut être capable d’estimer la forme du mode propre
recherché. Pour cela, en considérant qu’un mode de vibration correspond
à un état de déformation de la structure pour lequel les efforts de rappel
élastiques équilibrent les efforts d’inertie, la déformée du mode propre est
calculée par une analyse statique, en considérant un chargement inertiel
appliqué à l’ensemble des masses de la structure. Considérons la structure
simple ci-dessous, de masse linéique variable m(x), dont on cherche à
estimer la première pulsation propre de vibration horitonzale. Le chargement équivalent permettant de calculer la déformée modale est obtenu
en appliquant une accélération uniforme à l’ensemble de la structure. La
déformée obtenue est notée c(x).
10 • Dynamique et vibrations
10.3.2 Vibration transversale des poutres
Soit une poutre isostatique d’axe x, de longueur L, de moment quadratique
constant I , de densité linéique r, composée d’un matériau élastique linéaire
de module young E. Les pulsations propres de flexion lorsque la poutre
repose sur deux appuis simples sont :
v n =
p
2 n
2
L 2
E I
r
Les n modes propres associés sont :
f n (x) =
2
rL
sin
npx
L
10.3.3 Détermination du mode fondamental de vibration :
méthode de Rayleigh
Le but de la méthode de Rayleigh, par application du principe de conservation de l’énergie, consiste à déterminer le mode fondamental de vibration
d’une structure. Il faut être capable d’estimer la forme du mode propre
recherché. Pour cela, en considérant qu’un mode de vibration correspond
à un état de déformation de la structure pour lequel les efforts de rappel
élastiques équilibrent les efforts d’inertie, la déformée du mode propre est
calculée par une analyse statique, en considérant un chargement inertiel
appliqué à l’ensemble des masses de la structure. Considérons la structure
simple ci-dessous, de masse linéique variable m(x), dont on cherche à
estimer la première pulsation propre de vibration horitonzale. Le chargement équivalent permettant de calculer la déformée modale est obtenu
en appliquant une accélération uniforme à l’ensemble de la structure. La
déformée obtenue est notée c(x).