10.3 Vibration des systèmes continus
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10.3 VIBRATION DES SYSTÈMES CONTINUS
10.3.1 Vibration axiale des barres
Considérons une barre d’axe x, de longueur L, de section A(x), de densité
linéique r, composée d’un matériau élastique linéaire de module young E
soumise à une densité linéique d’effort q(x, t).
x
0
L
Figure 10.4
Quelle que soit l’abscisse x, l’équation générale de vibration axiale de la
barre est
∂
∂x
E.A(x)
∂u
∂x
− rA(x)
∂
2 u
∂t 2 + q(x, t) = 0
Les conditions limites, en effort ou en déplacement sont données ci-après :
en x = 0, E.A(x)
∂u
∂x
(0, t) + q(0, t) = 0 ou u(0, t) = 0 et en x = L,
E.A(x)
∂u
∂x
(L, t) + q(L, t) = 0 ou u(L, t) = 0.
Pour une barre de section constante A, en vibration libre (sans effort extérieure q(x, t) = 0) l’équation dynamique se ramène à l’équation des ondes :
∂
2 u
∂x 2 =
1
c 2
∂
2 u
∂t 2
avec c =
E/r, la célérité des ondes uniaxiales de traction-compression
dans le milieu élastique.
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