210
10 • Dynamique et vibrations
avec :
f
T
n Cf n = ¯
C n
et :
f
T
m Cf n = 0
Si de plus nous introduisons l’amortissement relatif ¯
C n = 2j n v n ¯
M n alors
nous obtenons n équations découplées en Y n :
¨
Y n + 2j n v n ˙
Y n + v
2
n Y n =
¯
F n
¯
M n
Il est toutefois plus facile et plus physique de définir l’amortissement relatif
j n par mode que le coefficient ¯
C n .
d) Condition d’orthogonalité par rapport à C
Lord Rayleigh a montré qu’une matrice C proportionnelle à la matrice de
masse et/ou de raideur satisfait les conditions d’orthogonalité :
C = aM + bK
Connaissant la valeur de l’amortissement à imposer à deux modes m et n,
nous pouvons calculer les deux paramètres a et b par l’équation suivante :
a
b
= 2
v m v n
v 2
n − v 2
m
⎡
⎣
v n
−v m
−
1
v n
1
v m
⎤
⎦
Il existe un nombre infini de ce type de matrice, définie par la série de Caughey :
C = M
∞
b=−∞
a b (M
−1 K)
b
10 • Dynamique et vibrations
avec :
f
T
n Cf n = ¯
C n
et :
f
T
m Cf n = 0
Si de plus nous introduisons l’amortissement relatif ¯
C n = 2j n v n ¯
M n alors
nous obtenons n équations découplées en Y n :
¨
Y n + 2j n v n ˙
Y n + v
2
n Y n =
¯
F n
¯
M n
Il est toutefois plus facile et plus physique de définir l’amortissement relatif
j n par mode que le coefficient ¯
C n .
d) Condition d’orthogonalité par rapport à C
Lord Rayleigh a montré qu’une matrice C proportionnelle à la matrice de
masse et/ou de raideur satisfait les conditions d’orthogonalité :
C = aM + bK
Connaissant la valeur de l’amortissement à imposer à deux modes m et n,
nous pouvons calculer les deux paramètres a et b par l’équation suivante :
a
b
= 2
v m v n
v 2
n − v 2
m
⎡
⎣
v n
−v m
−
1
v n
1
v m
⎤
⎦
Il existe un nombre infini de ce type de matrice, définie par la série de Caughey :
C = M
∞
b=−∞
a b (M
−1 K)
b